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La soluzione è veramente una sorpresa. Perciò chi già lo conosce non posti. Per chi non lo conosce invece conviene postare anche qualche osservazione parziale e mettere insieme gli sforzi.

Abbiamo una famiglia $ \{ f_a \}_{a \in A} $ di funzioni olomorfe intere (distinte). Sappiamo che per ogni $ z \in \mathbb{C} $ l'insieme $ \{ f_a(z) \}_{a \in A} $ è numerabile. ¿Possiamo dedurne che la famiglia sia essa stessa numerabile?

Beh, visto che si accettano anche osservazioni parziali ...
sicuramente, le funzioni hanno al più la cardinalità del continuo :
consideriamo infatti un denso numerabile $ \{q_n\}\subset\mathbb{C} $ e, fissato n, siano $ A^n_i $ le classi di equivalenza delle funzioni nel punto $ q_n $, ovvero fissiamo
$ $\{f_\alpha(q_n)\}_{\alpha\in A}=\{w^n_i\}_{i\in\mathbb{N}}$ $
$ $A^n_i=\{\alpha\in A\ |\ f_\alpha(q_n)=w^n_i\}$ $
Ora, per ogni funzione $ f:\mathbb{N}\to\mathbb{N} $ consideriamo l'insieme $ $A_f=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}A^n_{f(n)}$ $; tali insiemi hanno la seguente proprietà :
$ $\forall\ \alpha,\alpha'\in A_f,\ n\in\mathbb{N},\ f_\alpha(q_n)=f_{\alpha'}(q_n)$ $
Visto che i $ \{q_n\}_{n\in\mathbb{N}} $ sono un denso, la relazione precedente implica che $ f_{\alpha}\equiv f_{\alpha'}\quad \forall\ \alpha,\alpha'\in A_f $. Quindi le funzioni dette sono al più quante le funzioni dai naturali in sè, quindi hanno la cardinalità del continuo.

Del resto questo vale per ogni famiglia di funzioni continue su uno spazio separabile con la proprietà descritta...

Questo problema mi intriga e ogni tanto ci ripenso ma non vengo mai a capo di niente .... è possibile avere un hint? o tutt'al più, se proprio è un'idea secca e non ci son suggerimenti da dare, mi accontenterei anche della soluzione fatta e finita

Era scritto sulla lavagna in aula figalli credo 2 anni fa.
C'era una soluzione che esibiva un esempio, quindi mi sa che la risposta è "no".

Recentemente mi è tornato in mente questo problema. Ammetto che non sono riuscito a cavare un ragno dal buco.

Dopo aver miseramente fallito mi è rimasta almeno la curiosità di sapere la risposta, che è davvero incredibile...

www.math-inst.hu/~p_erdos/1964-04.pdf

Già, ... alla fine ero arrivato ad arrendermi alla buffa idea che centrasse l'ipotesi del continuo ed avevo dimostrato la prima parte del teorema nel pdf, ma poi mi ero arenato sulla seconda e non avevo postato nulla... certo che è inquietante.

Ops... alla fine mi ero scordato di rispolverare il problema dando qualche hint... scusate