Definizione di Area

[Franchifis]

Qual'è la definizione rigorosa di area di una figura piana?

[Catraga]

Quella della geometria differenziale in $ \mathbb{R}^n $?
O quella definita tramite forme differenziali in $ \mathbb{R}^2 $?

[MindFlyer]

Fare a un matematico una domanda del genere, è un po' come chiedergli come nascono i bambini (ammesso che lo sappia).

"Matematico, ma i bambini li porta la cicogna o nascono sotto i cavoli?"
"Si definisce concepimento la fusione di due gameti affini..."

Ordunque, se non sai proprio niente, questo dovrebbe bastarti:
http://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_measure.

[Nonno Bassotto]

Comunque in breve si tratta di questo. Prendi tutti i possibili modi di ricoprire la tua figura con un'infinità al più numerabile di quadratini messi dritti. Per ciascun ricoprimento fai la serie delle aree dei quadratini. poi prendi l'estremo inferiore al variare di tutti i possibili ricoprimenti. Questa è l'area della tua figura.

Il problema è che se vuoi che si comporti realmente come ti aspetti (ad esempio che sia additiva su insiemi disgiunti e altre simili proprietà che si danno per scontate) non puoi dare questa definizione per tutte le figure piane. In pratica quello che fai è decidere che ci sono delle figure buone, per cui l'area è definita, e altre no, e a queste ultime non attribuisci un'area.

Per dire quali sono i sottoinsiemi buoni, chiamiamo area provvisoria quella che ho definito più sopra (questa sarà l'area, ma solo per i sottoinsiemi buoni). Un sottoinsieme A del piano è buono quando per ogni altro sottoinsieme B l'area provvisoria di B è la somma dell'area provvisoria di A intersecato B e dell'area provvisoria di B meno A.
Ciao

[MdF]

Comunque in breve si tratta di questo. Prendi tutti i possibili modi di ricoprire la tua figura con un'infinità al più numerabile di quadratini messi dritti. Per ciascun ricoprimento fai la serie delle aree dei quadratini. poi prendi l'estremo inferiore al variare di tutti i possibili ricoprimenti. Questa è l'area della tua figura.

... e cioè si calcola l'integrale (http://it.wikipedia.org/wiki/Integrale) (limite della successione dei plurirettagoli circoscritti alla funzione in analisi, quando questo limite è uguale a quello della successione dei plurirettangoli inscritti alla funzione, entrambi finiti).

[EvaristeG]

No MdF, non è l'integrale, tranne che per alcuni fortunati insiemi. E anche quando è l'integrale, non è quello di Riemann, ma quello di Lebesgue, quindi non è fatto con i plurirettangoli.

[MdF]

No MdF, non è l'integrale, tranne che per alcuni fortunati insiemi. E anche quando è l'integrale, non è quello di Riemann, ma quello di Lebesgue, quindi non è fatto con i plurirettangoli.

Mannaggia, perdonatemi l'ignoranza (tipica da ingegnere ).
(almeno ci ho provato )

[Franchifis]

Ok, grazie! In realtà mi chiedevo se ci fosse una definizione che non usasse integrali eccetera, ma se non è così, integrale di Lebesgue sia! Ne deduco che il povero Euclide aveva lasciato il concetto di area insieme agli altri oggettidanondefiniretantosappiamotuttidicosastiamoparlando.

[MindFlyer]

Franchifis, per favore leggi l'articolo che ti ho postato, e leggi il messaggio di NonnoBassotto. La parola "integrale" non viene mai detta.

[EvaristeG]

Il povero Euclide fu vago, ma la definizione di area per i poligoni si può dare in termini un poco più elementari. Innanzitutto, si chiama regione poligonale un sottoinsieme del piano limitato che può essere scritto come unione di triangoli. Inoltre, assumiamo i tre seguenti assiomi

A1 - Esiste una funzione $ \Delta:\mathcal{PR}\to\mathbb{R}^+ $ dall'insieme delle regioni poligonali $ \mathcal{PR} $ nei reali positivi (non nulli).

A2 - Se T e T' sono regioni triangolari (triangoli) congruenti, allora $ \Delta(T)=\Delta(T') $

A3 - Se R è una regione poligonale e si sa che $ \displaystyle{R=\bigcup_{i=1}^nT_i} $ con le T_i regioni triangolari che tra loro si intersecano al più in punti o segmenti, allora
$ \Delta(R)=\displaystyle{\sum_{i=1}^n\Delta(T_i) $

Ora, da qui si dimostra che, a meno di una costante moltiplicativa fissata, l'area di un rettangolo è il prodotto tra i lati; adesso servirebbero due risultati di quella che qualcuno chiama topologia combinatoria :
1) una linea poligonale chiusa divide il piano in due parti
2) una delle due parti di cui sopra possiede una scomposizione in regioni triangolari come detto nell'assioma A3, l'altra no.
La parte di piano che gode di tale scomposizione si dice interno della linea poligonale ed essa è una regione poligonale.
Dall'assioma A2 inoltre si ricava che figure equiscomponibili hanno la stessa area (in quanto due scomposizioni rettilinee si possono entrambe "raffinare" in una stessa triangolazione) e da questi fatti, ecco che abbiamo costruito l'area, in quanto si dimostra che essa è definita a meno di una costante moltiplicativa sui parallelogrammi (e quindi sui triangoli) e da qui essa è definita a meno della stessa costante moltiplicativa su tutte le regioni poligonali, ovvero (assumendo gli ultimi due fatti) su tutti i poligoni. Ponendo quindi uguale a 1 l'area di un quadrato di lato 1, si ha definito l'area.

Per l'area di un cerchio, ovviamente, tutto questo non vale più e per essa si deve introdurre una definizione più complicata, che può essere quella suggerita da NonnoBassotto o una più intuitiva ma che poi continua a dare problemi (anche se con pezzi di piano così orridi che non compariranno mai in geometria elementare).

[evans]

Credo che quella di Evg sia la risposta più "vicina" e approcciabile con le mie conoscenze...ma non è sufficiente dire che l'area del poligono è la regione di piano finita delimitata dalla linea poligonale ?


già che ci siamo Evg come dare una definizione di perimetro di una figura piana?

[EvaristeG]

1) l'area non è una regione di piano ma è un numero reale;
2) chi ti dice che esista per ogni poligonale chiusa una componente connessa del complementare che sia finita? (è vero, ma non è ovvio)

Per perimetro ... dipende : se tu usi la definizione di regione poligonale come unione di triangoli, il perimetro di un triangolo lo definisci bene, poi il perimetro di una regione poligonale è l'unione delle parti dei perimetri dei triangoli che la formano e che non stanno nelle parti interne dei triangoli. Poi estendi ai poligoni come per l'area.
Per la lunghezza ... beh, con le cose rettilinee si fa prima.