Periodi irrazionali

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Sia $ f: \mathbb{R}\to \mathbb{R} $ una funzione Lebesgue-misurabile, periodica di periodi $ s $ e $ t $, con $ \frac{s}{t} $ irrazionale. Si provi che esiste $ k \in \mathbb{R} $ tale che $ f(x)=k $ valga almeno quasi ovunque. Si mostri che la tesi è falsa se non si assume la misurabilità di $ f $, in questo caso $ f $ può essere addirittura suriettiva?