Integralotto

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massiminozippy
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Integralotto

Messaggio da massiminozippy » 01 dic 2006, 21:53

Come calcolereste l'integrale da 0 a più infinito della seguente funzione:

$ xe^{-0.5((x-a)/b)^2} $

Grazie.

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SkZ
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Messaggio da SkZ » 02 dic 2006, 00:03

$ $\int_0^\infty\!\!\! xe^{-0.5((x-a)/b)^2}\textrm{d}x=\int_0^\infty\!\!\! xe^{-\frac{(x-a)^2}{2b^2}}{\rm d}x =$ $$ $b\sqrt{2} \int_{-\frac{a}{b\sqrt{2}}}^\infty \!\!\! (b\sqrt{2}\xi+a)e^{-\xi^2}{\rm d}\xi=$ $ $ $b^2 \int_{-\frac{a}{b\sqrt{2}}}^\infty \!\!\! 2\xi e^{-\xi^2}{\rm d} \xi+$ $$ $ab\sqrt{2} \int_{-\frac{a}{b\sqrt{2}}}^\infty \!\!\! e^{-\xi^2}{\rm d}\xi=$ $
$ $b^2 \int_{-\frac{a}{b\sqrt{2}}}^\infty \!\!\! e^{-\xi^2}{\rm d} \xi^2+$ $$ $ab\sqrt{2} \int_{-\frac{a}{b\sqrt{2}}}^\infty \!\!\! e^{-\xi^2}{\rm d}\xi$ $
dopo di che il primo termine si calcola tranquillamente, il secondo no: tabelle
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giulia87
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Messaggio da giulia87 » 17 gen 2007, 21:01

se a qualcuno interessa conosco un modo per calcolare il secondo integrale.Se lo volete sapere ditemelo che lo scrivo![/quote]

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Messaggio da EvaristeG » 18 gen 2007, 17:37

Preoccupatene: si può DIMOSTRARE che non si può scrivere il secondo integrale in termini di funzioni elementari (esponenziali, seni, coseni, logaritmi e polinomi) degli estremi. Il risultato si scrive in termini della funzione d'errore erf.

giulia87
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Messaggio da giulia87 » 18 gen 2007, 18:05

io non so trovare le primitive ma calcolare l'integrale(in realtà tra -infinito e +infinito,ma credo che il fatto che gli estremi di integrazione siano diversi non sia un gran problema).Il metodo è questo:si considera il quadrato dell'integrale,che praticamente è un integrale doppio in dxdy,si scrive l'integrale doppio in coordinate polari e si calcola l'integrale che a questo punto è banale.Il risultato dell'integrale di partenza è la radice di quello che hai trovato.Se la cosa ti interessa fammelo sapere e te lo scrivo più in dettaglio.

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Messaggio da SkZ » 18 gen 2007, 18:26

giulia87 ha scritto:(in realtà tra -infinito e +infinito,ma credo che il fatto che gli estremi di integrazione siano diversi non sia un gran problema).
:shock: il problema e' tutto li'. e si puo' dimostrare facilmente (non elementarmente, temo)

giulia87 ha scritto:Il metodo è questo:si considera il quadrato dell'integrale,che praticamente è un integrale doppio in dxdy,si scrive l'integrale doppio in coordinate polari e si calcola l'integrale che a questo punto è banale.Il risultato dell'integrale di partenza è la radice di quello che hai trovato.Se la cosa ti interessa fammelo sapere e te lo scrivo più in dettaglio.
piu' che altro l'integrale doppio della gaussiana nel piano puo' essere scomposto nel prodotto degli integrali di due gaussiane (una integrata lungo x, l'altra lungo y).
questo e' il metodo insegnato ad analisi 1, mi pare.
Il metodo che usa il teorema dei residui lo trovo piu' figo, anche perche' e' piu' tosta la teoria dietro: da piu' soddisfazione (ma si parla si analisi 2 e funzioni definite sui compelssi).
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Messaggio da giulia87 » 18 gen 2007, 18:31

Non ho provato con quegli estremi di integrazione,magari appena o il tempo ci provo e vedo cosa riesco a fare.
Come fai a calcolare quell'integrale con i residui?

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Messaggio da SkZ » 18 gen 2007, 19:24

non e' un argomento che si puo' spiegare in modo opportuno su un forum, anche di quuesto livello.
La formula da usare non mi pare difficile, ma non e' il caso di usare uno strumento senza avere capito come funziona.
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_dei_residui
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Messaggio da EvaristeG » 18 gen 2007, 19:38

giulia ... tra meno infinito e più infinito siam buoni tutti ... se si sapesse calcolare in maniera esplicita quell'integrale per ogni estremo di integrazione, si avrebbe praticamente la primitiva. Cmq, state andando abbastanza off topic.

giulia87
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Messaggio da giulia87 » 18 gen 2007, 20:15

la formula da usare per calcolare i residui non è complicata,semplicemente non credo che la gaussiana sia una funzione per cui valgono le ipotesi del lemma di Jordan e quindi non puoi calcolare l'integrale su R col teorema dei residui.E poi $ e^{-z^2} $è una funzione intera(analitica su tutto il piano complesso)quindi il residuo in qualsiasi punto è zero per in teorema di Cauchy.

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Messaggio da SkZ » 18 gen 2007, 22:25

infatti si parte dall'integrale di $ $f(z)=\frac{e^{i\pi z^2}}{\sin{(\pi z)}}$ $ e si integra sul circuito romboide di vertici $ $(\frac{1}{2}+r\alpha), (-\frac{1}{2}+r\alpha), (-\frac{1}{2}-r\alpha), (\frac{1}{2}-r\alpha)$ $ con $ $\alpha=e^{i\frac{\pi}{4}}$ $
si vede che sui tratti orizzontali l'integrale tente a 0
dato che questo e' Matematica Molto non elementare direi che e' il caso di ubbidire a Evaristeg e chiuderla qui, anche perche' mostruosamente OT.
In caso, se e' il caso, si puo' aprire un altro thread
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