Hum questo l'ho visto ieri a casa di giove, l'avevamo già chiamato il più brutto testo mai visto ma poi una volta risolto è davvero figo
Comunque noi l'abbiamo supposta da [0,2] a R+
L'ipotesi vuole dire che f è simmetrica rispetto a x=1.
Essendo simmetrica e concava x=1 è massimo.
Il LHS è l'area sottesa alla funzione.
Considero la tangente in 0 a f.
Se essa stesse sotto la funzione in anche solo un punto x_o>0 allora la retta R che passa per 0,f(0) e x_o,f(x_o) stà sopra la tangente in 0 a f.
Quindi il suo coefficente angolare è maggiore di f'(0).
Per il teorema del valor medio esisterebbe un punto c tra 0 e x_o tale che la derivata di f calcolata in c sia il coefficente angolare di R.
Quindi f'(c)>f'(0) assurdo in quanto f è concava e la derivata prima è decrescente.
Quindi la funzione stà tutta sotto la retta tangente in 0.
Considero ora il RHS e provo ad interpretarlo.
Esso è costituito dal rettangolone (0;0) (2,0) (0,f(0)) (2,f(2))
a cui tolgo qualcosa..ma cosa?!??
Dopo avere smanettato per un un paio di minuti e visto qualche caso particolare vedo che è l'area dei triangolini formati dalla retta tangente in 0 (e in 2) con il rettangolone.
Infatti:
l'altezza è f(1)-f(0)=a
La tangente in 0 interseca x=1 in f'(0)+f(0)
Chiamato c=f'(0) la base del triangolino è x.
Per una stupida similitudine tra triangoli trovo che:
$ a(1-x)=x(c-a) $
ovvero $ x= \frac{a}{c} $
La somma delle aree di quei due triangolini vale quindi:
$ \frac{(f(1)-f(0))^2}{f'(0)} $
A questo punto possiamo ricapitolare e chiudere
Prendiamo il rettangolone e togliamo i due triangolini agli angoli, la funzione per quanto dimostrato starà nell'area rimasta (sotto le tangenti in 0 e per simmetria in 2 e sotto f(1) che è il massimo) e la disuguaglinza è verificata.
Lascio poi a voi il trovare un contro esempio senza quella ipotesi
PS: io l'avrei messo in geometria però!