Sottogruppi normali

Analisi, algebra lineare, topologia, gruppi, anelli, campi, ...
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publiosulpicio
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Messaggio da publiosulpicio » 30 nov 2007, 16:15

Per il secondo punto (si tratta di un esempio famoso, e in effetti non facile da trovare): il sottogruppo dei quaternioni $ Q=\{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\} $ è ovviamente non abeliano, ma ha tutti i sottogruppi normali (quelli di ordine 4 hanno indice 2, mentre l'altro sottogruppo è il centro).

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edriv
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Messaggio da edriv » 01 dic 2007, 14:46

Esercizio 1
Definiamo $ ~ A,B \subset G \Rightarrow AB = \{ab : a \in A, b \in B\} $.
Se $ ~ X \subset G $ è un laterale destro di H, allora $ ~ x,y \in X \Rightarrow xy^{-1} \in H $.
Siano $ ~ a,b \in G $. Allora $ ~ HaHb $ è un laterale. Questo implica che, se $ ~ h_1,h_2,h_3,h_4 \in H $ allora:
$ ~ (h_1ah_2b)(h_3ah_4b)^{-1} \in H $ cioè
$ ~ h_1ah_2bb^{-1}h_4^{-1}a^{-1}h_3^{-1} \in H $ cioè
$ ~ h_1ah_2h_4a^{-1}h_3^{-1} \in H $, ponendo $ ~ h_1=h_2=h_3 = e $ otteniamo che, per ogni a e per ogni $ ~ h_4 \in H $:
$ ~ ah_4a^{-1} \in H $
cioè H è normale.

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