Basi di Schauder

[publiosulpicio]

Non è difficile dimostrare che se $ X $ è uno spazio di Banach riflessivo e $ \left\{x_i\right\}_{i=1}^{+\infty} $ è una base di Schauder per $ X $ allora $ x_i $ converge debolmente a $ 0 $. Ciò non è vero in generale, per esempio in $ c_0 $ (lo spazio delle successioni reali che tendono a 0) si può trovare una base di Schauder che non converge, nemmeno debolmente, a 0. Non sono riuscito a dimostrare l'equivalenza di queste due proprietà, e in realtà non so neanche se questa equivalenza è vera. Qualcuno sa se è vero e può postare una dimostrazione? Alternativamente, qualcuno conosce un controesempio? In questo caso è nota qualche condizione più debole della riflessività che implica che ogni base di Schauder converga debolmente a 0? Grazie.
Ricky.