Equazioni di terzo grado

Giochini matematici elementari ma non olimpici.
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UW54
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Equazioni di terzo grado

Messaggio da UW54 » 18 set 2018, 21:05

Innanzitutto volevo scusarmi nel caso avessi sbagliato sezione.
Comunque sarò breve, potete farmi un esempio di equazione di terzo grado che non ammetta soluzioni in R?

matpro98
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Re: Equazioni di terzo grado

Messaggio da matpro98 » 18 set 2018, 21:49

Se il grado è dispari, una soluzione reale c'è sempre. Un esempio è $x^3=1$, che ha $1$ come unica soluzione reale

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Fenu
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Re: Equazioni di terzo grado

Messaggio da Fenu » 19 set 2018, 18:55

$x^3=i$.

UW54
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Re: Equazioni di terzo grado

Messaggio da UW54 » 20 set 2018, 14:36

Ok grazie, la cosa che volevo dimostrare era proprio che in un'equazione di terzo grado con coefficienti reali, c'è almeno una soluzione reale.
Può essere considerato un corollario della formula di Cardano?

fph
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Re: Equazioni di terzo grado

Messaggio da fph » 20 set 2018, 14:55

Se vuoi. Oppure è possibile dimostrarlo in uno di questi due modi:
(1) dimostri (coniugando tutto) che se un polinomio a coefficienti reali ha una radice complessa $\lambda$, allora ha come ardice anche il suo coniugato $\bar{\lambda}$. Da qui applichi Ruffini e levi radici complesse a due a due finché non arrivi a un assurdo. Dovresti trovare nelle lezioni A1 medium del senior qualcosa del genere (fattorizzazione di polinomi in R[x]).
(2) con un po' di analisi: dimostri che per un polinomio di grado dispari $\lim_{x\to \pm\infty} p(x) = \pm \infty$, con segni appropriati, e concludi usando il teorema dei valori intermedi.
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]

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