problemino kangourou ecolier 2005

Giochini matematici elementari ma non olimpici.
Rispondi
Federico2010
Messaggi: 3
Iscritto il: 26 dic 2019, 21:26

problemino kangourou ecolier 2005

Messaggio da Federico2010 » 26 dic 2019, 21:58

Buonasera a tutti,
vi chiedo aiuto per un problemino con il quale si è imbattuto il mio bimbo esercitandosi per il kangourou.
Il quesito, (domanda n. 24 del kangourou ecolier 2005) è il seguente:
"Il prodotto di 100 numeri interi maggiori di zero è uguale a 100. Qual è il minimo valore che può avere la somma di questi numeri?"
Mio figlio aveva risolto così: 100x1x1x1...(99 volte) = 100 e quindi 100+99= 199
A me sembrava che avesse senso, ma in realtà la risposta corretta è 110 e la spiegazione riportata nelle soluzioni è la seguente: "Per minimizzare la somma, occorre che fra i fattori di 100 vi sia il minor numero possibile di 1. D'altra parte la fattorizzazione di 100 in numeri primi è 2x2x5x5x96. Costruiamo allora la somma 2+2+5+5+96x1=110".

Potreste per favore aiutarci a capire questa spiegazione? Grazie mille!

fph
Site Admin
Messaggi: 3682
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: in giro
Contatta:

Re: problemino kangourou ecolier 2005

Messaggio da fph » 27 dic 2019, 00:27

Non è che sia un granché come spiegazione, in effetti. :) Io la racconterei così.

1. Prima cosa da capire è che molti di questi numeri dovranno essere uguali a 1 (e qui ci siete già arrivati). La lista quindi sarà composta da un po' di numeri diversi da 1 (con prodotto 100), e da tanti uni.
2. Seconda cosa da capire è che tutte le volte che nella lista di numeri compare un numero che è il prodotto di due interi, per esempio $10 = 2\cdot 5$, allora 'conviene' (nel senso che si ottiene una somma minore) prendere questo numero e uno degli uni, e rimpiazzarli con i due fattori: per esempio, $10,1$ ha lo stesso prodotto di $2,5$ ma somma maggiore.
3. Quindi nella lista di numeri che realizza il minimo bisogna scomporre 100 nel prodotto di quanti più numeri possibile, cioè $2,2,5,5$ (che si chiama "scomposizione in fattori primi"). (Quel 2x2x5x5x96 è sicuramente un errore, il 96 non ci andava). Ogni altra possibile lista di fattori contiene un prodotto scomponibile, quindi possiamo "migliorarla" con l'osservazione del punto 2.

Questa soluzione va benissimo per questa fascia di età e per questo livello di gare. Aggiungo anche qualche osservazione che può essere utile per utenti del forum più grandicelli (ma che probabilmente sono troppo astratte / tecniche per un bambino di nove anni):

4. Il punto 2. è facile da vedere negli esempi; se uno vuole dimostrare formalmente che è sempre vero, bisogna notare che $ab+1 \geq a+b$ per ogni scelta di $a,b \geq 1$; difatti $ab+1-a-b = (a-1)(b-1) \geq 0$.
5. Per non rischiare di perder punti in una delle nostre gare dimostrative, ci andrebbe scritto anche "un minimo deve esistere, perché ci sono solo un numero finito di liste" e "la scomposizione in fattori primi è unica".
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]

Federico2010
Messaggi: 3
Iscritto il: 26 dic 2019, 21:26

Re: problemino kangourou ecolier 2005

Messaggio da Federico2010 » 27 dic 2019, 22:13

Grazie mille, chiarissimo!

Rispondi