Problema n°12 - Finale nazionale Bocconi 2009

[Giuseppe R]

Per favore, chi mi aiuta a trovare un procedimento efficiente per risolvere questo problema???

ANAGRAMMI NUMERICI
L’anagramma di un numero è un numero composto dalle stesse cifre,disposte in ordine (eventualmente) diverso. Per esempio, il numero 120 ha quattro anagrammi : 102;120;201 e 210 (la scrittura di un numero intero non comincia mai per 0).
Adesso avete un numero di tre cifre che ha (almeno) un anagramma multiplo di 2, (almeno) un anagramma multiplo di 3, (almeno) un anagramma multiplo di 4, …, (almeno) un anagramma multiplo di N-1 e (almeno) un anagramma multiplo di N, dove N è il valore più grande possibile.
Qual è questo numero di tre cifre, sapendo che le sue cifre sono disposte in ordine decrescente?

[sasha™]

Io ho ragionato così: il massimo numero per il quale possiamo dividere sia per quello che per tutti i precedenti è, AL MASSIMO, 10, perché l'unico numero di 3 cifre divisibile sia per 11 che per 9, che contenga uno zero (perché almeno un anagramma deve essere divisibile per 10) è 990, che però non ha anagrammi divisibili per 8. 11 viene escluso e resta 10 come massimo.
Adesso dobbiamo trovare dei numeri tali che la somma delle loro cifre sia 9 e almeno una delle cifre sia 0. Li consideriamo con le cifre disposte in ordine decrescente, e sono solo 810, 720, 630, 540. Vediamo che 810 non ha anagrammi divisibili né per 7 né per 8, e 720 non ha anagrammi divisibili per 7. Restano 630 e 540. 630 è divisibile per 2, 3, 5, 6, 7, 9. 360 è divisibile per 4 e 8, quindi 630 è accettabile. 540 è divisibile per 2, 3, 4, 5, 6, 9. 504 è divisibile per 7 e 8. Anche 540 è accettabile, inoltre sono gli unici valori possibili.

[Giuseppe R]

Grazie 1000 .... sembrava più difficili di quanto in realtà lo è....

[sasha™]

Ora che ci penso, non ho considerato 900, ma tanto saltano sempre 7 e 8 come divisori.

PS. Figurati