Dato che $ 34! = 295232799cd96041408476186096435ab000000 $, trovare quali sono le cifre $ a, b, c, d $.
(British Mathematical Olympiad 2002/2003)
le cifre mancanti. parte 2.
le cifre mancanti. parte 2.
The only goal of science is the honor of the human spirit.
-
- Messaggi: 571
- Iscritto il: 22 mar 2008, 12:04
- Località: A casa sua
Intanto so che $ 34! $ ha 7 fattori 5, quindi $ b=o $.
Dato che $ 9 $ divide $ 34! $ ho che la somma delle cifre di $ 34! $ è divisibile per 9. Senza a,c,d è 142, quindi può essere:
144
153
162
Devo anche calcolare che $ 34! $ è divisibile per 11, quindi la differenza fra la somma delle sue cifre pari e dispari è divisibile per 11. Dato che qusta è 8, ho che:
$ d-c-a\equiv3 \pmod{11} $
Se la somma delle cifre di $ 34! $ è 144, ho a+c+d = 2, ma questo è assurdo per la congruenza modulo 11,
Se la somma delle cifre di $ 34! $ è 153,, ho a+c+d = 11 con $ a\not=0 $
quindi per d=7 ho 3 soluzioni:
a=1 c=3
a=2 c=2
a=3 c=1
Se la somma delle cifre di $ 34! $ è 162, ho a+c+d = 20
con d-(c+a) = 3
quindi d-3 = (a+c) che è impossibile per 20. Quindi mi riconduco al secondo caso:
Quindi d=7, a è necessariamente pari perchè $ 34! $ ha 31 fattori 2, cui ne tolgo 7 dei 7 zeri, quindi 24.
$ \Rightarrow a=2, b=0, c=2, d=7 $
Non so se l'ultimo passaggio è tanto corretto, potrei aver sbagliato (anzi, dovrei...)
EDIT: ho sbagliato a contare le cifre, fa 139, non 142 ....
Dato che $ 9 $ divide $ 34! $ ho che la somma delle cifre di $ 34! $ è divisibile per 9. Senza a,c,d è 142, quindi può essere:
144
153
162
Devo anche calcolare che $ 34! $ è divisibile per 11, quindi la differenza fra la somma delle sue cifre pari e dispari è divisibile per 11. Dato che qusta è 8, ho che:
$ d-c-a\equiv3 \pmod{11} $
Se la somma delle cifre di $ 34! $ è 144, ho a+c+d = 2, ma questo è assurdo per la congruenza modulo 11,
Se la somma delle cifre di $ 34! $ è 153,, ho a+c+d = 11 con $ a\not=0 $
quindi per d=7 ho 3 soluzioni:
a=1 c=3
a=2 c=2
a=3 c=1
Se la somma delle cifre di $ 34! $ è 162, ho a+c+d = 20
con d-(c+a) = 3
quindi d-3 = (a+c) che è impossibile per 20. Quindi mi riconduco al secondo caso:
Quindi d=7, a è necessariamente pari perchè $ 34! $ ha 31 fattori 2, cui ne tolgo 7 dei 7 zeri, quindi 24.
$ \Rightarrow a=2, b=0, c=2, d=7 $
Non so se l'ultimo passaggio è tanto corretto, potrei aver sbagliato (anzi, dovrei...)
EDIT: ho sbagliato a contare le cifre, fa 139, non 142 ....
Ultima modifica di Giuseppe R il 23 giu 2009, 10:35, modificato 1 volta in totale.
Esistono 10 tipi di persone: quelli che capiscono i numeri binari e quelli che non li capiscono.
"Il principio dei cassetti è quando hai n cassetti e n+1 piccioni: quindi ci sarà almeno un cassetto con 2 o più piccioni..." cit.
"Il principio dei cassetti è quando hai n cassetti e n+1 piccioni: quindi ci sarà almeno un cassetto con 2 o più piccioni..." cit.
Giuseppe R ha scritto:Intanto so che $ 34! $ ha 7 fattori 5, quindi $ b=o $.
Dato che $ 9 $ divide $ 34! $ ho che la somma delle cifre di $ 34! $ è divisibile per 9. Senza a,c,d è 142, quindi può essere:
144
153
162
Devo anche calcolare che $ 34! $ è divisibile per 11, quindi la differenza fra la somma delle sue cifre pari e dispari è divisibile per 11. Dato che qusta è 8, ho che:
$ d-c-a\equiv3 \pmod{11} $
Se la somma delle cifre di $ 34! $ è 144, ho a+c+d = 2, ma questo è assurdo per la congruenza modulo 11,
Se la somma delle cifre di $ 34! $ è 153,, ho a+c+d = 11 con $ a\not=0 $
quindi per d=7 ho 3 soluzioni:
a=1 c=3
a=2 c=2
a=3 c=1
Se la somma delle cifre di $ 34! $ è 162, ho a+c+d = 20
con d-(c+a) = 3
quindi d-3 = (a+c) che è impossibile per 20. Quindi mi riconduco al secondo caso:
Quindi d=7, a è necessariamente pari perchè $ 34! $ ha 31 fattori 2, cui ne tolgo 7 dei 7 zeri, quindi 24.
$ \Rightarrow a=2, b=0, c=2, d=7 $
Non so se l'ultimo passaggio è tanto corretto, potrei aver sbagliato (anzi, dovrei...)
Mmm b è sicuramente 0, e a è 2 perchè 35a è multiplo di 8.
Per gli altri due non ti so dire su due piedi, ma ad una somma rapida mi pare che la somma delle cifre senza a, c, d sia 139 non 142, ma potrei sbagliare ovviamente.
Re: le cifre mancanti. parte 2.
somma cifre = $ 141+c+d \equiv 0 \pmod{9} \rightarrow c+d \equiv 3 \pmod{9}
$
$ 80 + d - 61 - c \equiv 0 \pmod{11} \rightarrow d - c \equiv 3 \pmod{11} $
Da qui forse posso dire che
$ c +d \equiv d - c \equiv 3 \pmod{99} \Rightarrow 2d \equiv 6 \pmod{99} $
Ovviamete d è compreso tra 0 e 9, quindi l'unica possibilità è che d sia 3.
Analogamente si arriva a dire che c è 0
Quindi...
$ \Rightarrow a=2, b=0, c=0, d=3 $
Ma non so se il passaggio alla congruenza mod 99 sia buono....
$ 80 + d - 61 - c \equiv 0 \pmod{11} \rightarrow d - c \equiv 3 \pmod{11} $
Da qui forse posso dire che
$ c +d \equiv d - c \equiv 3 \pmod{99} \Rightarrow 2d \equiv 6 \pmod{99} $
Ovviamete d è compreso tra 0 e 9, quindi l'unica possibilità è che d sia 3.
Analogamente si arriva a dire che c è 0
Quindi...
$ \Rightarrow a=2, b=0, c=0, d=3 $
Ma non so se il passaggio alla congruenza mod 99 sia buono....
Ultima modifica di Francutio il 27 giu 2009, 11:14, modificato 1 volta in totale.