Divisibilità per 11

[karotto]

Esaminiamo tutti i numeri che si scrivono con le 10 cifre:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 impiegate una e una sola
volta (ma che non cominciano con 0).
Quanti di questi numeri sono divisibili per 11?

[angelininni]

Il punto di partenza è la somma dei numeri da 0 a 9, che è 45. Questa va divisa nella somma di due addendi che rappresentano, rispettivamente la somma delle cifre in posizione pari e la somma delle cifre in posizione dispari.
Affinché il numero sia multiplo di 11, i resti delle divisioni per 11 di questi due addendi devono essere uguali, con l'ulteriore vincolo che l'addendo minimo è 10 (somma dei numeri da 0 a 4). Questi due vincoli fanno si che il numero 45 si possa scomporre solo in 17+28. A questo punto ragioniamo sul 17, che è più semplice.
Come si può ottenere 17 come somma di 5 numeri, senza ripetizioni? Si può ottenere in 11 modi:
9 5 2 1 0
9 4 3 1 0
8 6 2 1 0
8 5 3 1 0
8 4 3 2 0
7 6 3 1 0
7 5 4 1 0
7 5 3 2 0
7 4 5 1 0
7 4 3 2 1
6 5 4 2 0

Considerati questi casi uno alla volta, se i cinque numeri sono nella posizione pari (quindi non nella prima cifra del numero), ogni riga di sopra permette di scrivere 14.400 numeri diversi (5*4*3*2*1 x 5*4*3*2*1), se invece sono nella posizione dispari ogni riga permette di scrivere 11.520 numeri (4*4*3*2*1 x 5*4*3*2*1). Fa eccezione la sequenza 7 4 3 2 1 per la quale vale il ragionamento opposto (è l'unica che non contiene lo 0). Complessivamente i numeri sono 14.400 * 11 + 11.520 * 11 = 285.120.

[Sir Yussen]

Scusate, ma mi sbaglio o c'è un modo mooolto più semplice per risolvere il problema? Ovvero si nota che:
-il numero massimo componibile con quelle cifre è 9876543210
-il numero minimo è 1023456789
-i numeri che ci interessano sono 9876543210-1023456789 = 8853086421
I numeri divisibili per undici saranno ovviamente 1/11, quindi
8853086421/11= 804826038


Oppure sbaglio qualcosa?

[SkZ]

sbagli nel aftto che i numeri usabili sono $ ~9\cdot 9!=3265920 $
dato che puoi usare una cifra una sola volta

[Sir Yussen]

Uhm giusto che pollo che sono xD Beh, in questo caso il problema non se po risolvè con un solo passaggio .-.