Archimede 1997

[amatrix92]

Nel 22° esercizio che trovate qua:
http://andfog.altervista.org/math/Archi ... iennio.pdf

mi è sembrato di trovare un errore nella soluzione: dice che le possibilità di indovinare 1 numero al lotto ( estrazione con 90 numeri) su 5 estrazioni sia 5/ 90. Ma in realtà non è 1/90 +1/89 + 1/88 + 1/ 87 + 1/ 86 ?

[Anér]

Potrebbe venire in mente di dire che per il primo estratto c'è 1/90 di probabilità che esca un certo n, per il secondo estratto 1/89 perché sono rimasti 89 numeri dopo aver tolto il primo estratto, e così via, e poiché n non può uscire due volte e vogliamo che esca almeno una volta, basta sommare 1/90 + 1/89 + ... .
L'errore sta nel non considerare che per il secondo estratto c'è 1/89 di probabilità solo se n non è già uscito alla prima estrazione, altrimenti, se è già uscito, la probabilità è 0. Dunque dobbiamo correggere i calcoli:
Caso 1) n esce al primo colpo; probabilità 1/90;
Caso 2) n non esce al primo colpo ed esce al secondo; probabilità 89/90 x 1/89=1/90
Caso 3) n non esce né nella prima né nella seconda estrazione, bensì nella terza; probabilità 89/90 x 88/89 x 1/88 =1/90

E così via, poi si sommano i vari casi perché sono indipendenti e vogliamo che se ne verifichi uno.

[Tibor Gallai]

1/90 +1/89 + 1/88 + 1/ 87 + 1/ 86

Devi capire a colpo d'occhio che quella non può essere una probabilità!
Se invece di estrarre 5 numeri ne estraessi 90, avresti probabilità 1 di estrarre il 13, ma estendendo la tua formula avresti una somma ben superiore a 1 (addirittura la serie armonica diverge).

Oltre al metodo accennato da Anér, c'è quello bovino di considerare le $ $5\choose 90 $ possibili cinquine, tra cui esattamente $ $4 \choose 89 $ contengono il 13. Il rapporto tra i due numeri è 5/90, come volevasi dimostrare. E' strano che la soluzione ufficiale non giustifichi quel 5/90, non mi pare sia immediatamente ovvio, soprattutto in un Archimede.

si sommano i vari casi perché sono indipendenti

Non sono indipendenti, ma sono disgiunti.

[SkZ]

in verita' le cinquine sono $ $\binom {90}{ 5} $ di cui $ $\binom {89} {4} $ contengono il 13

se be ricordo $ $\binom nk $ se n<k vale 0

[Anér]

si sommano i vari casi perché sono indipendenti

Non sono indipendenti, ma sono disgiunti.

Pardon, ho sbagliato aggettivo!

[io.gina93]

Nel 22° esercizio che trovate qua:
http://andfog.altervista.org/math/Archi ... iennio.pdf

mi è sembrato di trovare un errore nella soluzione: dice che le possibilità di indovinare 1 numero al lotto ( estrazione con 90 numeri) su 5 estrazioni sia 5/ 90. Ma in realtà non è 1/90 +1/89 + 1/88 + 1/ 87 + 1/ 86 ?

no è giusta così!!
perchè a te non dovrebbe interessare se il tuo numero esce nella prima/seconda/terza/quarta/quinta estrazione, l'importante è che esca..
in questo problema possiamo pensare di prendere 5 numeri contemporaneamente e vedere se abbiamo preso il nostro numero o no..