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Grasse risate si fanno quando un tuo compagno di classe in seconda superiore ti dice che se in un test a risposta multipla con $ n $ possibilità, se si spara a caso a $ n $ domande si ha una possibilità del $ 100\% $ di azzeccarne una!

Allora mi è venuto in mente di pormi (e quindi porvi) questo quesito semplice semplice: Qual'è l'effettiva probabilità di azzeccarne una? e di azzeccarne ALMENO una?

Almeno una è $1-\left(\frac{n-1}n\right)^n$, che per tanti lanci diventa circa il $63\%$, in particolare $\frac{e-1}e$!
La probabilità di azzeccarne esattamente una è $n\cdot\frac1 n\cdot\left(\frac{n-1}n\right)^{n-1}=\left(\frac{n-1}n\right)^{n-1}$, che all'infinito diventa $\frac1 e\approx37\%$; click! xD

Quando farete i logaritmi, potrai richiedergli questa cosa dgli $n$ lanci e $n$ possibilità!

La probabilità di beccarne nessuna è $ (\frac{n-1}{n})^n $ (per ognuna delle n domande hai 1 risposta giusta e n-1 sbagliate)
Quindi beccarne almeno una è $ P = 1 - (\frac{n-1}{n})^n $

La probabilità di beccarne esattamente k :

Se devono esserci k risposte giuste, ce ne sono n-k sbagliate, in qualsiasi ordine.

Se ci concentriamo su uno di questi ordini, per esempio $ GGGG\dots SSSS $ (G è giusta, S è sbagliata, e ci sono k G ed n-k S), la probabilità è $ \displaystyle \frac{1}{n}^k\cdot (\frac{n-1}{n})^{n-k} $. Ora questo vale per un ordinamento specifico, per avere la probabilità generica va moltiplicato per tutti gli ordinamenti possibili, che sono $ \displaystyle \frac{n!}{k!(n-k)!} = \binom{n}{k} $
Quindi $ \displaystyle P_k = \binom{n}{k}\cdot\frac{1}{n}^k\cdot (\frac{n-1}{n})^{n-k} $

Controlliamo ora i casi particolari, se rispondono alla formula:
$ P_0 = \binom{n}{0}\cdot 1 \cdot (\frac{n-1}{n})^{n} $ (la probabilità di non beccarne nessuna: ci siamo)
Invece $ P_1 = (\frac{n-1}{n})^{n-1} $

Eccetera eccetera

ant.py ha scritto:$ \displaystyle P_k = \binom{n}{k}\cdot\frac{1}{n}^k\cdot (\frac{n-1}{n})^{n-k} $

Immagino sia $ \displaystyle P_k = \binom{n}{k}\cdot\left(\frac{1}{n}\right)^k\cdot \left(\frac{n-1}{n}\right)^{n-k} $

Drago96 ha scritto:

ant.py ha scritto:$ \displaystyle P_k = \binom{n}{k}\cdot\frac{1}{n}^k\cdot (\frac{n-1}{n})^{n-k} $

Immagino sia $ \displaystyle P_k = \binom{n}{k}\cdot\left(\frac{1}{n}\right)^k\cdot \left(\frac{n-1}{n}\right)^{n-k} $

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\left( blabla \right)

Thanks