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Innanzitutto volevo scusarmi nel caso avessi sbagliato sezione.
Comunque sarò breve, potete farmi un esempio di equazione di terzo grado che non ammetta soluzioni in R?

Se il grado è dispari, una soluzione reale c'è sempre. Un esempio è $x^3=1$, che ha $1$ come unica soluzione reale

$x^3=i$.

Ok grazie, la cosa che volevo dimostrare era proprio che in un'equazione di terzo grado con coefficienti reali, c'è almeno una soluzione reale.
Può essere considerato un corollario della formula di Cardano?

Se vuoi. Oppure è possibile dimostrarlo in uno di questi due modi:
(1) dimostri (coniugando tutto) che se un polinomio a coefficienti reali ha una radice complessa $\lambda$, allora ha come ardice anche il suo coniugato $\bar{\lambda}$. Da qui applichi Ruffini e levi radici complesse a due a due finché non arrivi a un assurdo. Dovresti trovare nelle lezioni A1 medium del senior qualcosa del genere (fattorizzazione di polinomi in R[x]).
(2) con un po' di analisi: dimostri che per un polinomio di grado dispari $\lim_{x\to \pm\infty} p(x) = \pm \infty$, con segni appropriati, e concludi usando il teorema dei valori intermedi.