Mike Bongiorno insegna

[MindFlyer]

Spostato da algebra in matematica ricreativa. federico
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Come già osservato tempo fa, quella divertente trasmissione che è Genius, in onda su rete 4 dalle 14:00 alle 15:00, può vantare ben una domanda-risposta gravemente errata per puntata, più un numero variabile di inesattezze, scivoloni di Mike e degli autori, e castronerie del signor So-Tutto-Io Tortorella.

Orbene, oggi (ieri) mi trovavo a guardare la suddetta trasmissione, quando è saltato fuori, in mezzo ai domandoni finali, il classico quesito del laghetto di ninfee, un po' parafrasato. Ovviamente, il parafrasarlo era nelle intenzioni degli autori: in realtà, il risultato è un problema completamente diverso, con una diversa soluzione. Inutile dire che gli autori hanno però dato per buona la risposta del problema originale...

Ecco il problema:
Una vasca da bagno viene riempita d'acqua in 10 minuti. Se ad ogni minuto la portata d'acqua immessa raddoppia, dopo quanti minuti la vasca è riempita a metà?

Risposta del concorrente: 8.
Risposta degli autori: 9.

Ora, appena avete finito di ridere, risolvete voi il problema nel modo giusto!

Nota umoristica: il problema è stato presentato a Genius tra le accese proteste di Mike, che lo riteneva troppo difficile (critica peraltro insensata, vista la struttura del gioco "io so quello che tu non sai"). Che il sagace conduttore abbia davvero intuito che il problema era ben più difficile di quanto credessero gli autori?

[Melkon]

beh, così il problema diventa interessante, ma anche un po' calcoloso...
abbiamo, chiamata x la portata iniziale del primo minuto, 1023x=1 vasca. Da cui, perché sia riempita a metà, ci vogliono 1023/2 x, che avremo dopo qualcosa meno di 9 minuti. Esattamente sarebbe
[1023/2]=511
8minuti siamo a 256, mancano 1023/2-256=511/2
durante l'8minuto la portata è di 256 min=256/60 sec= 64/15

quindi 511/2=k64/15 da cui k=59.882813 secondi

risposta: dopo 8 minuti e 59.882813 secondi

[Marco]

Beh, per spezzare una lancia a favore dell'inossidabile Mike, se consideri la relazione "raddoppia la portata in un minuto" in tempi continui, scopri che la risposta esatta è ...rullo di tamburi... 9 minuti!!!

Mike aveva ragione!

[hexen]

a me esce un po' più di 9

La capacità della vasca la calcoliamo sommando un minuto a portata 1 + 1 min a portata 2+ 1 min a portata 4 ... fino a 10, quindi

$ $c=\sum_{n=1}^{10} 2^{n-1} = 2^{10}-1=1023$ $

E` riempita a metà a $ $\frac c 2 = \frac{1023}{2}$ $

I minuti richiesti li troviamo con l'equazione in x
$ $\sum_{n=1}^x 2^{n-1}=\frac{1023}{2}$ $
che ci dà $ $x=\frac{\ln 41 + 2\ln 5}{\ln 2}-1 \approx 9,0014 $ $

[MindFlyer]

Uhm, né la soluzione di Melkon, né quella di hexen sono giuste.
Hexen è partito bene, ma purtroppo ha cannato la seconda parte.
Retry!

[Poliwhirl]

Bé, posto la mia giornaliera soluzione sbagliata:
Chiamiamo $ x $ la quantità d'acqua immessa con la prima portata.
Se ogni minuto tale quantità raddoppia, la quantità d'acqua finale nella vasca, dopo $ 10\ minuti $, sarà data da:
$ \displaystyle\sum_{i=0}^{9} 2^{i}x = 1023x $
Dunque la quantità d'acqua in metà vasca, sarà: $ \displaystyle\frac{1023x}{2}=511.5x $
Dopo i primi $ 9\ minuti $ la quantità d'acqua nella vasca, sarà:
$ \displaystyle\sum_{i=0}^{8} 2^{i}x=511x $
Per raggiungere metà vasca piena, rimane da aggiungere una quantità pari a $ 0.5x $ d'acqua.
Durante l'immissione dell'ultima portata d'acqua in $ 1\ minuto $ vengono immessi $ 512x $ d'acqua. Dunque (supponendo uniformi le immissioni d'acqua, in tempi uguali, durante uno stesso minuto):
$ \displaystyle 1\ minuto = 512x $ da cui $ \displaystyle x=\frac{1\ minuto}{512}\approx 0.0019533125\ minuti $ che è il tempo necessario per riempire, durante l'ultimo minuto, la vasca di una quantità x d'acqua; quindi, durante l'ultimo minuto, per riempire la vasca di $ 0.5x $ d'acqua (quantità per raggiungere metà vasca), occorreranno:
$ \displaystyle\frac{0.0019533125\ minuti}{2}=0.000976562\ minuti $
Dunque per riempire metà vasca, secondo le condizioni date, serviranno $ 9.000976562\ minuti $.

Bye,
#Poliwhirl#

[mambro87]

Allora. La portata è definita come volume immesso nella vasca in un minuto.
Facendo finta che all'inizio la portata è 1 il volume d'acqua della vasca in dopo 5 minuti sarebbe 1+2+4+8.
é quindi una progressione geometrica di ragione 2.

Generaliziamo e poniamo come portata iniziale un valore k.
La sommatoria degli elementi da k a n in una progressione geometrica di ragione q è di:
$ $ k \frac{q^n-1}{q-1}$ $
nel nostro caso la vasca piena ha questo volume
$ $ k \frac{2^{10}-1}{2-1}$ $
sappiamo che a questo valore la vasca è piena. Dobbiamo trovare quando è piena a meta, quindi trovare n, talichè
$ $ k \frac{2^n-1}{2-1}$ $ = $ $1/2 k \frac{2^{10}-1}{2-1}$ $
risolvendo viene fuori n=9,001408194 circa

[MindFlyer]

Allora, Poliwhirl ha sostanzialmente risolto il problema.
La risposta è $ 9+\frac{1}{1024}=9,0009765625 $, e non il $ 9,000976562 $ di Poliwhirl. Errore probabilmente dovuto all'approssimazione di una calcolatrice...

mambro87 ha cannato esattamente come hexen. Nel senso che hanno fatto lo stesso errore.
Ah, comunque benvenuto nel forum, mambro87!!

[Poliwhirl]

Allora, Poliwhirl ha sostanzialmente risolto il problema.
La risposta è $ 9+\frac{1}{1024}=9,0009765625 $, e non il $ 9,000976562 $ di Poliwhirl. Errore probabilmente dovuto all'approssimazione di una calcolatrice...

Sì, errore di una calcolatrice...

Bye,
#Poliwhirl#

[hexen]

non riesco a capire perché è sbagliato impostare l'equazione in x che ho impostato

[Marco]

Perché nel tuo procedimento x è un estremo di sommatoria, quindi deve essere intero, perché la formula abbia un senso. Se poi fai i conti e ti viene che un intero risulta nove e rotti, c'è qualcosa che non va.

[hexen]

giusto

[mambro87]

Ah, comunque benvenuto nel forum, mambro87!!

Grazie

[aursic]

Nessuno di voi ha mai sentito la domanda:
"se divido un numero qualsiasi per il suo opposto, cosa ottengo?"

(vabbè, si tratta di pignoleria matematica, ma forse non guasterebbe)