Primo dell'anno: sabato o domenica?

[Franchifis]

Questo viene dalle olipiadi russe, ma lo posto qui perche' e' un problema un po' strano e sinceramente non saprei dove metterlo. Magari poi lo spostate:

E' piu' probabile che il primo dell'anno sia un sabato o una domenica?

NB: Si devono tenere in considerazione gli anni bisestili ed il fatto che i centenari non multipli di 400 non sono bisestili (per questo il 2000 era bisestile pur essendo un centenario ed il 2100 invece non sara' bisestile).

[Offidani]

Bisogna tenere conto del calendario attuale, cioè sapere ad esempio che il 1 gennaio 2005 era ......?

[MindFlyer]

La domanda è mal posta. Cosa significa "è più probabile"?

EDIT:
Ok, siccome la successione dei primi dell'anno è periodica, possiamo chiedere se è più frequente il sabato o la domenica all'interno di ogni periodo.

[Franchifis]

L'1 gennaio 2005 era un sabato.

[BlaisorBlade]

Beh, dopo 1 (o dopo 52) settimane, si ritorna al punto di partenza. Es: se l'1 è martedì, tutti i numeri $ \equiv 1 $ mod 7 sono martedì. 365 è di forma 7k+1, quindi il primo dell'anno dell'anno dopo è il giorno successivo. Ma negli anni bisestili si salta un giorno, quindi in 6 anni anziché 7 si torna al punto di partenza (posto di trovare uno e un solo bisestile).

Poiché gli anni bisestili sono uno ogni 4, è chiaro che i primi dell'anno in questa situazione non sono tutti i giorni; poiché il primo dell'anno può tornare dopo 5 anni o ogni 6, ecco che la cosa è abbastanza sfasata.

Nota: di fatto il periodo vero è più grande, penso che esso divida mcm(4,5,6).

Ma è tardi e non ci voglio pensare....

[AlessandroSfigato]

Ho verificato sperimentalmente che dopo 28 anni si ritorna al punto di partenza sia come primo dell'anno, sia come mese bisestile o no. Si noti che 28 è multiplo di 7 e di 4, ma non capisco perchè dato che, come ha detto blaisor, non è vero che ogni primo dell'anno è il giorno successivo del primo dell'anno precedente. (poi bisogna contare quella cosa dei 100 anni multipli di 400, quindi il periodo diventa molto più grande)

[Marco]

Ciao. Cerchiamo di finalizzare questa pausa-pranzo...

In verità il problema sirisolve riesce a fare senza tanti conti e senza usare il computer. Basta un po' di pazienza e astuzia per organizzarli nel modo migliore. Io ho fatto così:

Diciamo che il primo gennaio 2000 è il giorno della settimana 0.

Diciamo che:

- un CBP (ciclo bisestile pieno) è un anno bisestile seguito da tre anni normali.
- un CBC (ciclo bisestile corto) sono quattro anni normali.
- un SP (secolo pieno) è un ciclo formato da 25 CBP.
- un SC (secolo corto) è un ciclo formato da un CBC e 24 CBP.
- una quattrocentina è un ciclo formato da un SP e 3 SC.

Ricordando che 365 = 1 (tutte le somme e le uguaglianze sono da intendersi congruenze mod.7), si ha che se un certo capodanno cade nel giono X, il capodanno successivo è in X+1, se l'anno è normale, e in X+2 se l'anno è bisesto. Dico che nel primo caso avremo scostamento 1, nel secondo 2.

Lo stesso scostamento può essere calcolato per tutti i cicli sopra definiti. Ad esempio: un CBP avrà lo scostamento somma di tre anni normali ed un bisestile, vale a dire cinque giorni. Quindi gli scostamenti risultano:
CBP 5
CBC 4
SP 6 [ Si calcola come 25 * scostamento di CBP = 4 * 5 = 20 = 6]
SC 5
quattrocentina 0

Da questo si vede che i giorni dell'anno cadono sempre nel medesimo giorno della settimana a cicli di quattrocento anni, quindi la domanda ha perfettamente senso.

Vediamo allora quali capodanni sono in abbondanza per ogni secolo.

Il primo secolo della quattrocentina è pieno. Dopo sette CBP, lo scostamento è di nuovo 0, quindi i capodanni si ripetono (questo, btw, dimostra l'asserto che Alessandro ha verificato al computer: dopo 28 anni i giorni si ripetono, salvo poi essere interrotti dai salti secolari). Quindi è equivalente considerare il SP composto da 25 CBP o 4 [ = 25 - 7*3] CBP.

Il primo CBP ha capodanni nei giorni 2 3 4 5 (ossia il bisestile salta 1). Analogamente, il secondo salta 6, il terzo salta 4 e il quarto salta 2. Inoltre, dato che l'ultimo capodanno del secolo è nel giorno 6 (questo è dato dallo scostamento del SP), anche il giorno 7 risulta corto di un'occorenza.

Totale per il SP: i capodanni nei giorni 2 e 4 sono uno in più di quelli degli altri giorni.

Vediamo ora i secoli corti. Si ragiona come prima e si scopre che un SP è equivalente a un CBC e 3 CBP.

Partiamo sempre dal giorno 0. Il primo CB è corto, quindi non ci sono giorni saltati. Il secondo salta 5, il terzo salta 3 il quarto salta 1. Inoltre il ciclo dell'SC termina in 5, quindi anche 6 e 7 non sono raggiunti e compaiono una volta in meno.

Totale per il SC: i capodanni in più cadono nei giorni 2 e 4 rispetto al capodanno che chiude il ciclo precedente.

Montiamo i pezzi. Nella quattrocentina, il primo secolo (pieno) è abbondante in capodanni 3 e 5. Il secondo (corto) è abbondante in capodanni 6+2 e 4+2 (6, lo scostamento del primo secolo, è il "giorno zero" del secolo successivo), il terzo secolo è abbondante in capodanni 6+5+2 e 6+5+4, il quarto secolo in capodanni 6+5+5+2 e 6+5+5+4.

Riduco queste somme mod 7 e trovo due volte 1, 3, 6; una volta 4 e 5, nessuna volta 0 e 2.

Significa che su 400 anni, se a sono i capodanni che cadono in 0, a+2 sono quelli in uno, ecc. Facendo il conto salta fuori che a =56, quindi ogni quattrocentina i capodanni in 0 e 2 sono 56, i capodanni in 4 e 5 sono 57, i capodanni nei restanti giorni sono 58.

Ora Franchifis ci dice che il 01/01/05 (che cade in un giorno 0, come si verifica subito) è sabato.

Quindi, in conclusione, la proporzione tra i capodanni di sabato e quelli di domenica è 28/29. []

Ciao. M.