Due cilindri a contatto (Normale 1994/95)

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mark86
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Due cilindri a contatto (Normale 1994/95)

Messaggio da mark86 » 12 lug 2005, 23:27

Due cilindri uniformi ruotano indipendentemente intorno ai loro assi. Indichiamo
con $ R_1 $, $ M_1 $ ed $ R_2 $, $ M_2 $ raggio e massa dei due cilindri. Supponiamo poi che i due assi di rotazione siano paralleli e che la rotazione avvenga nello stesso senso con velocità angolari $ \omega_1 $ e $ \omega_2 $ rispettivamente.I due cilindri vengono quindi spostati fino a farli accostare e i loro assi sono mantenuti nella posizione schematizzata in figura. In questa posizione, essi sono liberi di ruotare intorno al proprio asse e rotolano senza strisciare lungo una tangente. Si calcoli la velocità angolare finale di ogni cilindro.

Non sono molto sicuro della mia soluzione la posto per sapere che ne pensate (mi sembra troppo immediata e semplice e non sono sicuro di alcune cose... ma comunque)

SOLUZIONE

Dal momento che i due cilindri rotolano senza strisciare allora essi avranno una velocità angolare finale $ \omega_m $ intermedia fra $ \omega_1 $ e $ \omega_2 $, questo perchè nel punto di incontro i cilindri ruotano in senso opposto e in un certo senso si "frenano" a vicenda (in realtà non avviene dissipazione di energia perchè rotolano senza strisciare, forse occorrerebbe immaginare che ad un cero punto siano legati come delle ruote dentate ma senza attrito e perciò hanno la stessa velocità angolare). Nel sistema si conserva il momento angolare (almeno spero) e credo che questa conservazione si scriva così: detti $ I_1 $ e $ I_2 $ i rispettivi momenti d'inerzia dei due cilindri, avremo

$ I_1\omega_1+I_2\omega_2=(I_1+I_2)\omega_m $ e cioè

$ \omega_m=\frac{I_1\omega_1+I_2\omega_2}{I_1+I_2}=\frac{M_1R_1^2\omega_1+M_2R_2^2\omega_2}{M_1R_1^2+M_2R_2^2} $.

Si nota che se i due cilindri hanno stessa massa e stesso raggio allora la velocità angolare finale diventa quella media, come è normale che ci si aspetti.

Finito....... che mi dite?????Sono corbellerie oppure no?

hexen
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Messaggio da hexen » 13 lug 2005, 11:06

la mia soluzione è:
Sia $ E_A $ l'energia cinetica totale quando ci sono 2 velocità angolari diverse e sia $ E_B $ quella di quando raggiungono vel. ang. comune $ \omega $.

Ponendo $ E_A = E_B $ perché l'energia cin. si conserva abbiamo:

$ $E_A = \frac 1 2 (M_1 \omega_1^2 R_1^2 + M_2 \omega_2^2 R_2^2) = \frac 1 2 \omega^2 (M_1 R_1^2 + M_2 R_2^2)$ $

da cui si ha

$ $\omega = \sqrt{\frac{M_1 \omega_1^2 R_1^2 + M_2 \omega_2^2 R_2^2}{M_1 R_1^2 + M_2 R_2^2}}$ $

ma può anche darsi che abbia sbagliato io
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mark86
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Messaggio da mark86 » 13 lug 2005, 11:25

Beh... si conserva anche il momento angolare, solo che non sono sicuro che la mia relazione $ I_1\omega_1+I_2\omega_2=(I_1+I_2)\omega_m $ sia corretta!!!! Qualcuno ci può illuminare?

p.s. da notare, poi, hexen, che quando si ha $ M_1=M_2 $ $ R_1=R_2 $ la tua diventa $ \omega_m=\sqrt{\frac{\omega_1^2+\omega_2^2}{2}} $ che non è la media delle velocità angolari come io credo che bisogna aspettarsi... boh!!! Si aspettano chiarimenti

AleX_ZeTa
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Messaggio da AleX_ZeTa » 13 lug 2005, 13:09

si conserva solo il momento angolare, non l'energia. E' come fosse un urto anelastico.
"E se si sono rotti i freni?"
"Se si sono rotti i freni non ci resta che l'autostop e il viaggio si complica. Faremo il giro del mondo a piedi."

mark86
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Messaggio da mark86 » 13 lug 2005, 13:28

ti dispiacerebbe essere un po' più preciso??? Cosa succede in termini energetici???

AleX_ZeTa
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Messaggio da AleX_ZeTa » 13 lug 2005, 14:05

nel contatto, che sia un urto (come fossero due ingranaggi) che sia uno strisciamento con attrito, si dissipa energia. Mentre il momento angolare non cambia: le forze di contatto sono forze interne con lo stesso punto di applicazione: per azione-reazione si annullano i loro momenti (o se vuoi per la II equazione cardinale il momento angolare si conserva)
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Messaggio da mark86 » 13 lug 2005, 14:46

sì ma i cilindri rotolano senza strisciare quindi non c'è attrito....

cga
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Messaggio da cga » 13 lug 2005, 15:09

Per capire intuitivamente perche' l'energia cinetica non si conserva considera due corpi puntiformi che viaggiando l'uno incontro all'atro si scontrano in un urto totalmente anelastico: dopo lurto si ha un solo corpo con massa pari alla somma delle due masse iniziali. In questo caso l'energia cinetica non si conserva.
Allo stesso modo, la linea tangente tra i due cilindri la puoi considerare come formata da particelle puntiformi appartenenti ad entrambe i cilindri. Non essendoci strisciamento il punto di contatto e' a velocita' nulla. Ovviamente in questo caso tu hai la somme dei momenti d'inerzia anziche' la somma delle masse.

La conservazione del momento angolare e' la generalizazzione della conservazione della quantita' di moto per corpi rigidi.

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