Relazione cinematica tra punto materiale e corpo rigido

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rus
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Iscritto il: 25 gen 2020, 11:02

Relazione cinematica tra punto materiale e corpo rigido

Messaggio da rus » 25 gen 2020, 11:25

Ciao a tutti!

Ho un problema nello scrivere una relazione cinematica tra un punto materiale ed un corpo rigido.


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Presentazione dell'esercizio:
Abbiamo un disco omogeneo di massa $M$ e raggio $R$, coassiale e rigidamente fissato ad un disco di raggio $R/2$ e massa trascurabile.
Il disco è appoggiato su un piano orizzontale scabro e si muove di rotolamento puro.
Una molla ideale disposta orizzontalmente, di costante elastica $k$, ha le due estremità vincolate al centro del disco $G$ e ad una parete verticale.
Una fune ideale (indicata nel disegno
con una linea tratteggiata) è avvolta attorno al disco di raggio $R/2$, passa attraverso una
carrucola ideale posta ad una altezza per cui la fune nel tratto $OB$ risulta orizzontale e fissata
ad un punto materiale di massa $2M$ (doppia del disco).
Chiamiamo $phi$ l'angolo di rotazione del disco.

Cosa occorre fare:
Il professore ci ha chiesto di scrivere di quanto scende/sale il punto materiale in funzione di $phi$, utilizzando la formula fondamentale per la cinematica dei corpi rigidi.

Io so la velocità di $P$ è uguale alla velocità di $O$.
Con $O$ si intende quel punto in figura che si trova lungo l'orizzontale e che istante per istante cambia.
Intuitivamente potrei scrivere che il punto materiale scende di quanto si sposta il centro di massa del disco ($R*phi$) meno di quanto si avvolge la fune $R/2*phi$.

Dato che però devo utilizzare la formula fondamentale per la cinematica dei corpi rigidi, scrivo che:

$v_P= v_O$

$v_O = v_G + (d(phi))/(dt) * (O-G)$

$v_O= R* (d(phi))/(dt) + (d(phi))/(dt) * (O-G)$

$v_O = R* (d(phi))/(dt) - R/2* (d(phi))/(dt)$

Mio problema
In questo caso ho che $v_O$ è diretto unicamente lungo l'orizzontale, mentre $P$ non può che muoversi, ovviamente lungo la verticale.
In altri casi, quando avevo un punto materiale collegato ad un corpo rigido per mezzo di una fune ideale, dopo aver trovato la velocità del punto del corpo rigido a cui era collegata la fune (in questo caso $O$), proiettavo la velocità trovata lungo la direzione nella quale si poteva muovere il punto materiale (in questo caso $P$).
Come mai in questo caso non devo fare tale proiezione? Tale proiezione darebbe risultato nullo.
E' per via della carrucola che "sposta" il moto? Non capisco.

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