Un'asta rigida uniforme di massa $ M $ e lunghezza $ L $, in posizione verticale, è appesa per l'estremo superiore ad un gancio.
Il gancio è collegato ad un motorino che lo mette in rotazione su se stesso a velocità angolare costante $ \displaystyle\omega $ in modo che l'asta si sollevi dalla posizione verticale formando un angolo $ \displaystyle \alpha $ con l'asse verticale. Calcolare la velocità angolare in funzione dell'angolo in modo tale che il sistema sia in equilibrio.
Buon lavoro!
Il problema è già stato postato un annetto fa, ma purtroppo manca di soluzione dettagliata. C'è una soluzione numerica, che ovviamente non coincide con la mia!
Asta verticale che si mette a ruotare..
Non riesco a capire bene il testo del problema 
(sarà che sono improvvisamente rimbecillito, ma è così). In particolare, che cosa intendi esattamente con l'equilibrio del sistema? Non è per chiederti troppo, ma forse anche una figura sarebbe d'aiuto 
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P.S:
ah e se ce la fai non è che potresti darmi il link del vecchio topic con questo problema? Io non riesco a trovarlo
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(sarà che sono improvvisamente rimbecillito, ma è così). In particolare, che cosa intendi esattamente con l'equilibrio del sistema? Non è per chiederti troppo, ma forse anche una figura sarebbe d'aiuto .P.S:
ah e se ce la fai non è che potresti darmi il link del vecchio topic con questo problema? Io non riesco a trovarlo
."[i]What is a good Olympiad problem?[/i] Its solution should not require any prerequisites except cleverness. A high scool student should not be at a disadvantage compared to a professional mathematician."
Ecco qua: http://olimpiadi.ing.unipi.it/oliForum/ ... senigallia.
Ah, per l'equilibrio credo che si intenda che ad una certa velocità l'asta mantiene l'angolo d'apertura rispetto alla posizione verticale.
Ah, per l'equilibrio credo che si intenda che ad una certa velocità l'asta mantiene l'angolo d'apertura rispetto alla posizione verticale.
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g(n)
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Premetto che anche io all'inizio non riuscivo ad immaginarmi la situazione 
Comunque anche a me viene il risultato di Desh. Credo però che andrebbe bene se si fosse in presenza di filo + massa alla fine, ma forse il fatto che è un'asta cambia un po' le cose...nel vecchio topic c'è comunque un avvertimento a non sottovalutare il problema...
Comunque anche a me viene il risultato di Desh. Credo però che andrebbe bene se si fosse in presenza di filo + massa alla fine, ma forse il fatto che è un'asta cambia un po' le cose...nel vecchio topic c'è comunque un avvertimento a non sottovalutare il problema...
Mi fai vedere come lo ricavi? Così posso confrontare il mio ragionamento (piuttosto incasinato) col tuoDesh ha scritto:hmmm devo avere sbagliato qualcosa, mi viene $ \displaystyle \cos\alpha=\frac{2g}{\omega^2 L} $ anziché $ \displaystyle \cos\alpha=\frac{3g}{2\omega^2 L} $
.Hanno ragione, non è poi così facile quanto sembra
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Ultima modifica di Algebert il 07 ago 2008, 14:04, modificato 1 volta in totale.
"[i]What is a good Olympiad problem?[/i] Its solution should not require any prerequisites except cleverness. A high scool student should not be at a disadvantage compared to a professional mathematician."
Ammetto che il testo del problema ad una prima lettura non è di facile comprensione, tuttavia dopo che EUCLA mi ha spiegato che cosa si intende per "equilibrio del sistema" e dopo aver visto il vecchio topic ho finalmente capito tutto.salva90 ha scritto:ma è possibile che non riesco a capire cosa accidenti succede nella situazione descritta?
Praticamente Salva immagina che quando l'asta incominci a ruotare con velocità angolare $ \displaystyle \omega $ essa descriva un cono con asse uguale alla verticale, cioè alla posizione iniziale dell'asta prima della rotazione. Bisogna trovare $ \displaystyle \omega $ in funzione dell'angolo $ \displaystyle \alpha $ che l'asta in rotazione forma con la verticale in modo tale che l'angolo rimanga sempre lo stesso mentre l'asta continua a girare alla stessa velocità
.P.S:
io il problema ho tentato di risolverlo ragionando sulla conservazione dell'energia meccanica totale, ma non sono molto sicuro di quello che ho fatto
. Qualcun'altro ha altre idee?
Ultima modifica di Algebert il 07 ago 2008, 21:33, modificato 1 volta in totale.
"[i]What is a good Olympiad problem?[/i] Its solution should not require any prerequisites except cleverness. A high scool student should not be at a disadvantage compared to a professional mathematician."
Ah ecco perchè non mi veniva, come ho fatto a non accorgermeneDesh ha scritto:L'asta non è isolata, il motore immette energia nel sistemaAlgebert ha scritto: io il problema ho tentato di risolverlo ragionando sulla conservazione dell'energia meccanica totale
!"[i]What is a good Olympiad problem?[/i] Its solution should not require any prerequisites except cleverness. A high scool student should not be at a disadvantage compared to a professional mathematician."
Per favore nessuno di voi può postare il proprio metodo risolutivo? Non riesco a farmi venire questo problema 
, mi accontento anche del ragionamento o di un semplice hint !
, mi accontento anche del ragionamento o di un semplice hint !"[i]What is a good Olympiad problem?[/i] Its solution should not require any prerequisites except cleverness. A high scool student should not be at a disadvantage compared to a professional mathematician."
Ho trovato un altro modo per farlo. Il risultato non coincide, nuovamente, però magari voi siete in grado di aggiustarlo.
Ci prendiamo la nostra asticella, e calcoliamo nell'estremità in basso il momento delle forze applicate su di essa, ricordando che $ \tau =I\alpha $.
Dobbiamo però tener presente che $ I=I_{CdM}+M\displaystyle \frac{L^2}{4} =M\frac{L^2}{12}+M\frac{L^2}{4}=\frac{ML^2}{3} $.
Inoltre, $ \alpha =\displaystyle \frac{a}{R} $. Essendo nell'estremo, $ a $ non è altro che l'accelerazione centrifuga, dunque $ a={\omega}^2\displaystyle R $ dato che l'asta si muove a velocità costante.
Preciso che $ R $ è la distanza dall'asse di rotazione. Sostituisco: $ \displaystyle \alpha =\omega ^2 $.
Inoltre, $ \tau =\displaystyle \frac{MgL}{2}\cdot \sin{\alpha} $.
Sostituendo: $ \displaystyle \frac{MgL\sin{\alpha}}{2} =\frac{ML^2\omega ^2}{3} $ da cui ricavo $ \omega ^2=\displaystyle \frac{3g\sin{\alpha}}{2L} $.
Peccato che quel seno dell'angolo non sia mai venuto fuori prima.. e sta dalla parte sbagliata della frazione..
Ci prendiamo la nostra asticella, e calcoliamo nell'estremità in basso il momento delle forze applicate su di essa, ricordando che $ \tau =I\alpha $.
Dobbiamo però tener presente che $ I=I_{CdM}+M\displaystyle \frac{L^2}{4} =M\frac{L^2}{12}+M\frac{L^2}{4}=\frac{ML^2}{3} $.
Inoltre, $ \alpha =\displaystyle \frac{a}{R} $. Essendo nell'estremo, $ a $ non è altro che l'accelerazione centrifuga, dunque $ a={\omega}^2\displaystyle R $ dato che l'asta si muove a velocità costante.
Preciso che $ R $ è la distanza dall'asse di rotazione. Sostituisco: $ \displaystyle \alpha =\omega ^2 $.
Inoltre, $ \tau =\displaystyle \frac{MgL}{2}\cdot \sin{\alpha} $.
Sostituendo: $ \displaystyle \frac{MgL\sin{\alpha}}{2} =\frac{ML^2\omega ^2}{3} $ da cui ricavo $ \omega ^2=\displaystyle \frac{3g\sin{\alpha}}{2L} $.
Peccato che quel seno dell'angolo non sia mai venuto fuori prima.. e sta dalla parte sbagliata della frazione..
@ EUCLA: scusa, ma se l'asta si muove a velocità angolare costante l'accelerazione angolare non dovrebbe essere nulla ?
Comunque niente da fare, questo problema non vuole venirmi, mi arrendo
! Qualcuno potrebbe postare per favore la sua soluzione corretta 
?
?Comunque niente da fare, questo problema non vuole venirmi, mi arrendo
! Qualcuno potrebbe postare per favore la sua soluzione corretta ?"[i]What is a good Olympiad problem?[/i] Its solution should not require any prerequisites except cleverness. A high scool student should not be at a disadvantage compared to a professional mathematician."