Problema (a mio avviso) parecchio difficile

[AndBand89]

Sinceramente non riesco proprio a risolverlo...è un Padova 2004/05.


Un elettrone si trova in presenza di un campo elettrico e un campo magnetico, uniformi e costanti, diretti lungo l'asse z. Si osserva che la componente x della velocità dell'elettrone cambia segno ogni due microsecondi. Si osserva che quando la coordinata z dell'elettrone si sposta di $ 3 cm $, la sua energia cinetica aumenta di $ 2 eV $. Si trascuri la forza peso.

a) Determinare il modulo di $ E $ e $ B $.
b) Se al tempo $ t = 0 $ la componente z della velocità vale $ 10^3 m/s $, per quale valore di $ t $ l'energia cinetica dell'elettrone è minima?




Brancolo nel buio lungo l'asse z

[SkZ]

Un elettrone si trova in presenza di un campo elettrico e un campo magnetico, uniformi e costanti, diretti lungo l'asse z.

ergo movimento a spirale: il campo magnetico non agisce su moti paralleli a lui e il campo elettrico accelera solo parallelamente al magnetico. Ergo i moti perpendicolari ai 2 campi rimangono costanti in modulo e cambiano solo in direzione.

[AndBand89]

L'ultima parte della tua affermazione non l'ho capita. Me la spieghi?

[SkZ]

i 2 campi sono diretti lungo z ergo:
E) accelera solo lungo z e lascia invariate la componente perpendicolare ad esso.
B) essendo costante agisce solo su particelle che si muovono perpendicolarmente a lui (componente z della velocita' lasciata inalterata) e opera una semplice cambio di direzione, lasciando inalterato il modulo

in sostanza hai:
E che opera su $ $\vec{v}_z $, accelerandolo
B che opera su $ $\vec{v}_{\perp z} $, ruotandolo

[Desh]

Calcolo del modulo del campo magnetico

Come ricordato da SkZ il campo elettrico non fa altro che "spostare" il piano (perpendicolare ai due campi) su cui l'elettrone ruota (moto circolare uniforme).

Dato che una componente della velocità cambia segno ogni $ 2 \mu s $, il periodo di questa rotazione è $ T=4 \mu s $.
Il raggio di questa rotazione è noto $ $ r=\frac{m_e v}{B e} $. Essendo il moto circolare uniforme, la velocità tangenziale (costante) è $ $ v=\frac{s}{t}=\frac{2 \pi r}{T} $, da cui $ $ B=\frac{2 \pi m_e}{e T} $

Calcolo del modulo del campo elettrico

Il campo magnetico non influenza invece il moto parallelo ai campi. La forza di Lorentz è sempre ortogonale alla velocità, dunque non modifica l'energia dell'elettrone; il campo elettrico è conservativo, quindi i $ 2 eV $ guadagnati in energia cinetica l'elettrone li sottrae alla propria energia potenziale.
L'energia potenziale è il prodotto del potenziale per la carica:
$ $ \Delta U=\Delta V \cdot e $; il campo elettrico è il rapporto tra la differenza di potenziale tra due punti al suo interno e la loro distanza $ $ E=\frac{\Delta V}{d} $.

$ $ E=\frac{\Delta U}{e \cdot d}=\frac{2}{3} \cdot 10^2 \frac{V}{m} $

[AndBand89]

Fin troppo chiaro!Grazie!

[Algebert]

Per il secondo punto invece? Io sto provando a risolverlo considerando l'equazione della spirale che regola il moto dell'elettrone, ma non riesco a cavarci nulla. E' giusto come ragionamento oppure ce n'è uno molto più semplice?

[Desh]

$ $ E_c=\frac{1}{2}m_e v^2=\frac{1}{2}m_e \left( v_x^2+v_y^2 \right)+\frac{1}{2} m_e v_z^2 $

Per quanto detto prima il primo addendo è costante; considerando $ $ v_z>0, E>0 $, l'elettrone decelera costantemente $ $ a=-\frac{E \cdot e}{m_e} $