Un corpo A di massa $ m_A=1kg $ è collegato da una parte ad una parete tramite una molla di costante elastica $ k=20N/m $ e dall'altra ad un corpo B di massa $ m_B=0,5 $kg tramite una fune inestensibile, passante nella gola di una carrucola fissa.
Inizialmente il sistema dei due corpi è in quiete con la molla nelle condizioni di riposo e il corpo B sostenuto da un appoggio C. Si leva quindi l'appoggio C lasciando i corpi liberi di muoversi.
a) Trovare l'allungamento massimo della molla;
b) trovare la tensione della fune nella posizione di cui sopra;
c) ricavare l'equazione per il moto di A (o di B)
Carrucola con due blocchi e una molla
Carrucola con due blocchi e una molla
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"fatti non foste a viver come bruti,
ma per seguir virtute e canoscenza"(Dante)
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a) La forza che provoca l'allungamento della molla è la tensione della corda, che è uguale in modulo alla forza peso del corpo B. Il peso del corpo A invece è diretto perpendicolarmente al sostegno, dunque è bilanciato dalla reazione vincolare del sostegno. Perciò $ k \cdot \delta x = m_b g $, quindi $ \delta x = \frac {m_b g}{k} = 0,245 m $.
b) Se il mio ragionamento precedente è corretto, la tensione T della corda dovrebbe essere uguale in modulo al peso del corpo B, perciò $ T = m_b g = 4,9 N $.
c) Dal momento in cui si toglie il sostegno C, se trascuriamo l'attrito, le forze agenti sul sistema sono la forza elastica e la forza peso del corpo B e del corpo A (quest'ultima blianciata però dalla reazione vincolare del sostegno). Perciò $ - k \delta x + m_b g = (m_b + m_a) a $, da cui $ a = -13,3 m/s \cdot \delta x + 3,3 m/s^2 $.
Spero di non avere scritto fesserie...
b) Se il mio ragionamento precedente è corretto, la tensione T della corda dovrebbe essere uguale in modulo al peso del corpo B, perciò $ T = m_b g = 4,9 N $.
c) Dal momento in cui si toglie il sostegno C, se trascuriamo l'attrito, le forze agenti sul sistema sono la forza elastica e la forza peso del corpo B e del corpo A (quest'ultima blianciata però dalla reazione vincolare del sostegno). Perciò $ - k \delta x + m_b g = (m_b + m_a) a $, da cui $ a = -13,3 m/s \cdot \delta x + 3,3 m/s^2 $.
Spero di non avere scritto fesserie...
Certo non c'è solo quello che determina la tensione perchè interviene anche la forza di richiamo della molla che tiene il blocco $ $A$ $, quindi c'è da contare anche quella.String ha scritto:@Agostino: no, vai tranquillo...
@Davide90: i risultati non sono quelli...avevo pensato anch'io che la tensione dovesse essere uguale al peso del secondo blocco, ma evidentemente non è così...
"[i]What is a good Olympiad problem?[/i] Its solution should not require any prerequisites except cleverness. A high scool student should not be at a disadvantage compared to a professional mathematician."
Immagina di avere una molla con una massa attaccata al soffitto, se lascia andare la massa , questa raggiunge la pos di equilibrio, e sulla molla agiscono le forze $ mg=k \delta x $ ma tu non lasci la molla da questa posizione , la lasci dalla posizioen di riposo, quindi da $ \delta x = \frac {mg} {k} $. Dunque per il massimo allungamento $ k \delta x_{max}= k\(\frac {mg} {k} \) + mg $
*non avevo visto , era già stato detto
*non avevo visto , era già stato detto
Avete ragione...
Provo a correggere i risultati:
a) L'allungamento massimo si ha quando la molla raggiunge la posizione opposta a quella iniziale rispetto al punto in cui l'accelerazione del sistema è uguale a 0, che chiamiamo posizione di equilibrio. La posizione di equilibrio si ha per $ \delta x_{equilibrio} = \frac {m_b g}{k} = 0,245 m $, quindi l'allungamento totale è dato dal doppio di questo allungamento, perciò $ \delta x_{tot} = 0,49 m $.
b) La tensione della corda in questo punto è data dalla differenza tra il peso del corpo B e la forza di richiamo della molla sul corpo A, opposte in verso. Perciò $ T = m_bg- k \delta x = 4,9 N - 9,8 N = -4,9 N $. Il valore negativo della tensione indica che l'accelerazione della molla sul sistema è maggiore di quella prodotta dal peso di B, perciò la corda non esercita una forza di tensione rivolta verso l'alto sul corpo B, che perciò è in caduta libera finchè la corda non si allunga completamente e ricomincia a esercitare una tensione di richiamo che solleva il corpo B.
c) L'equazione del moto per il corpo A dovrebbe essere data da questa equazione: $ m_a \cdot a_a = T - F_{el} = (m_b g - k \delta x ) - k \delta x = m_b g - 2 k \delta x $, da cui $ a_a = 4,9 m/s^2 - 40 s^{-2} \cdot \delta x $.
Invece quella per il corpo B dovrebbe essere $ m_b \cdot a_b = m_b g - T = m_b g - (m_b g - k \delta x ) = k \delta x $ , da cui $ a_b = 40 s^{-2} \cdot \delta x $...
Spero che adesso vada bene...
Provo a correggere i risultati:
a) L'allungamento massimo si ha quando la molla raggiunge la posizione opposta a quella iniziale rispetto al punto in cui l'accelerazione del sistema è uguale a 0, che chiamiamo posizione di equilibrio. La posizione di equilibrio si ha per $ \delta x_{equilibrio} = \frac {m_b g}{k} = 0,245 m $, quindi l'allungamento totale è dato dal doppio di questo allungamento, perciò $ \delta x_{tot} = 0,49 m $.
b) La tensione della corda in questo punto è data dalla differenza tra il peso del corpo B e la forza di richiamo della molla sul corpo A, opposte in verso. Perciò $ T = m_bg- k \delta x = 4,9 N - 9,8 N = -4,9 N $. Il valore negativo della tensione indica che l'accelerazione della molla sul sistema è maggiore di quella prodotta dal peso di B, perciò la corda non esercita una forza di tensione rivolta verso l'alto sul corpo B, che perciò è in caduta libera finchè la corda non si allunga completamente e ricomincia a esercitare una tensione di richiamo che solleva il corpo B.
c) L'equazione del moto per il corpo A dovrebbe essere data da questa equazione: $ m_a \cdot a_a = T - F_{el} = (m_b g - k \delta x ) - k \delta x = m_b g - 2 k \delta x $, da cui $ a_a = 4,9 m/s^2 - 40 s^{-2} \cdot \delta x $.
Invece quella per il corpo B dovrebbe essere $ m_b \cdot a_b = m_b g - T = m_b g - (m_b g - k \delta x ) = k \delta x $ , da cui $ a_b = 40 s^{-2} \cdot \delta x $...
Spero che adesso vada bene...
Il punto a) va bene, il punto b) non è corretto...considera ad esempio il corpo B: $ $ \sum F= m_Ba=T-m_Bg $, per il corpo A, applica lo stesso procedimento... Il punto c) invece non va bene perchè l'equazione del moto dei due corpi è quella di un moto armonico...
"fatti non foste a viver come bruti,
ma per seguir virtute e canoscenza"(Dante)
ma per seguir virtute e canoscenza"(Dante)
I miei risultati:
1) $ $\Delta x_{max} = \frac{2m_{b}g}{k}$ $
2) $ T = 2m_{b}g $
3) Per quel che riguarda la legge oraria, per semplificare il tutto, l'ho calcolata per piccoli spostamenti dalla posizione di equilibrio del sistema... $ $x(t) = \frac{2m_{b}g}{k} \cdot \sqrt {\frac{k}{m_{a}+m_{b}}} \cdot t$ $
che è della forma $ $x(t) = A \cdot \omega t$ $ e che mi induce a concludere...
$ $x(t) = \frac{2m_{b}g}{k} \cdot \sin(\sqrt {\frac{k}{m_{a}+m_{b}}} \cdot t)$ $
che si riconduce alla prima forma quando, per via dell'approssimazione detta, posso porre $ \sin(\omega t) = \omega t $.
La cosa più carina è che si vede che la pulsazione di questo sistema è semplicemente $ $\omega = \sqrt {\frac{k}{m_{a}+m_{b}}}$ $... due masse attaccate ad una molla, per l'appunto
1) $ $\Delta x_{max} = \frac{2m_{b}g}{k}$ $
2) $ T = 2m_{b}g $
3) Per quel che riguarda la legge oraria, per semplificare il tutto, l'ho calcolata per piccoli spostamenti dalla posizione di equilibrio del sistema... $ $x(t) = \frac{2m_{b}g}{k} \cdot \sqrt {\frac{k}{m_{a}+m_{b}}} \cdot t$ $
che è della forma $ $x(t) = A \cdot \omega t$ $ e che mi induce a concludere...
$ $x(t) = \frac{2m_{b}g}{k} \cdot \sin(\sqrt {\frac{k}{m_{a}+m_{b}}} \cdot t)$ $
che si riconduce alla prima forma quando, per via dell'approssimazione detta, posso porre $ \sin(\omega t) = \omega t $.
La cosa più carina è che si vede che la pulsazione di questo sistema è semplicemente $ $\omega = \sqrt {\frac{k}{m_{a}+m_{b}}}$ $... due masse attaccate ad una molla, per l'appunto