Adiabatica ed isoterma
Adiabatica ed isoterma
Un gas ideale si espande adiabaticamente in modo tale che la sua pressione passa a $ 2.00 atm $ a $ 1.00 atm $. Successivamente, il gas viene riscaldato a volume costante in modo tale da riportarlo alla temperatura iniziale e così la sua pressione passa da $ 1.00 atm $ a $ 1.22 atm $. Si traccino schematicamente tali trasformazioni su un diagramma $ $P-V$ $ e si determini il rapporto tra il calore specifico a pressione costante e quello a volume costante $ $\gamma = C_{P} / C_{V}$ $ di tale gas.
Siano $ $p_0 = 2\ atm$ $, $ $p_1 = 1\ atm$ $ e $ $p_2 = 1,22\ atm$ $ le tre pressioni. Per la prima trasformazione adiabatica abbiamo, usando l'equazione di Poisson, che:
$ $p_0V_0^\gamma = p_1V_1^\gamma \Rightarrow \left(\frac{V_1}{V_0}\right)^\gamma = \frac{p_0}{p_1} = 2$ $
Applicando invece l'equazione di stato dei gas ideali alla terza trasformazione, ricaviamo:
$ $\frac{p_0V_0}{T_0} = \frac{p_2V_1}{T_0} \Rightarrow \frac{V_1}{V_0} = \frac{p_0}{p_2}$ $
Sostituendo, possiamo trovare il valore di $ $\gamma$ $:
$ $\left(\frac{p_0}{p_2}\right)^\gamma = 2 \Rightarrow \gamma = \frac{\ln 2}{\ln p_0 - \ln p_2} = 1,4$ $
Per il grafico purtroppo non posso farci niente, sorry
!
$ $p_0V_0^\gamma = p_1V_1^\gamma \Rightarrow \left(\frac{V_1}{V_0}\right)^\gamma = \frac{p_0}{p_1} = 2$ $
Applicando invece l'equazione di stato dei gas ideali alla terza trasformazione, ricaviamo:
$ $\frac{p_0V_0}{T_0} = \frac{p_2V_1}{T_0} \Rightarrow \frac{V_1}{V_0} = \frac{p_0}{p_2}$ $
Sostituendo, possiamo trovare il valore di $ $\gamma$ $:
$ $\left(\frac{p_0}{p_2}\right)^\gamma = 2 \Rightarrow \gamma = \frac{\ln 2}{\ln p_0 - \ln p_2} = 1,4$ $
Per il grafico purtroppo non posso farci niente, sorry
!"[i]What is a good Olympiad problem?[/i] Its solution should not require any prerequisites except cleverness. A high scool student should not be at a disadvantage compared to a professional mathematician."
Si, anch'io trovo $ $\gamma = \frac{7}{5}$ $.
Aggiungo che se volessi calcolare il lavoro del gas durante l'adiabatica, dovrei fare: $ $L = (costante) \cdot \int_{V_{0}}^{V_{1}}} \frac{dV}{V^{\gamma}} = (costante) \cdot \frac{V_{1}^{1- \gamma}- V_{0}^{1- \gamma}}{1- \gamma}$ $,
essendo $ (costante) = P_{i} V_{i}^{\gamma} $, dove $ $i$ $ è un qualunque stato tra 0 e 1, e, all'occorrenza, lo posso scegliere a piacere. Quindi in definitiva:
$ $L = P_{i}V_{i}^{\gamma}\cdot \frac{V_{1}^{1- \gamma}- V_{0}^{1- \gamma}}{1- \gamma} = \frac{P_{1}V_{1}-P_{0}V_{0}}{1 - \gamma}.$ $
$ $L = \frac{P_{1}V_{1}-P_{0}V_{0}}{1 - \gamma}$ $
che è la stessa formula che ottengo da $ $L = - \Delta U = C_{V}n(T_{0}-T_{1})$ $, considerendo che $ C_{V} + R = C_{P} $ e, dividendo per $ C_{V} $, si ha$ $ 1 + \frac{R}{C_{V}} = \gamma => - \frac{R}{1 - \gamma} = C_{V}.$ $
Vi trovate con quanto dico?
Aggiungo che se volessi calcolare il lavoro del gas durante l'adiabatica, dovrei fare: $ $L = (costante) \cdot \int_{V_{0}}^{V_{1}}} \frac{dV}{V^{\gamma}} = (costante) \cdot \frac{V_{1}^{1- \gamma}- V_{0}^{1- \gamma}}{1- \gamma}$ $,
essendo $ (costante) = P_{i} V_{i}^{\gamma} $, dove $ $i$ $ è un qualunque stato tra 0 e 1, e, all'occorrenza, lo posso scegliere a piacere. Quindi in definitiva:
$ $L = P_{i}V_{i}^{\gamma}\cdot \frac{V_{1}^{1- \gamma}- V_{0}^{1- \gamma}}{1- \gamma} = \frac{P_{1}V_{1}-P_{0}V_{0}}{1 - \gamma}.$ $
$ $L = \frac{P_{1}V_{1}-P_{0}V_{0}}{1 - \gamma}$ $
che è la stessa formula che ottengo da $ $L = - \Delta U = C_{V}n(T_{0}-T_{1})$ $, considerendo che $ C_{V} + R = C_{P} $ e, dividendo per $ C_{V} $, si ha$ $ 1 + \frac{R}{C_{V}} = \gamma => - \frac{R}{1 - \gamma} = C_{V}.$ $
Vi trovate con quanto dico?