OliForum Matematico

Questo problema è quasi più di matematica che di fisica, quindi ho la coscienza a posto a postarlo qui:

Si consideri un sistema di $ N $ corpi legato gravitazionalmente, con energia totale $ E \leq 0 $. Si ponga l'origine delle coordinate nel centro di massa del sistema e l'asse $ \hat z $ avente direzione e verso del momento angolare $ \vec L $ del sistema. Sia $ I $ il momento d'inerzia del sistema rispetto all'asse $ \hat z $. Sia $ V $ l'energia potenziale del sistema. Dimostrare che:

$ \displaystyle I V^2 \geq 2 |E| L^2 $

Considerato che manca meno di una settimana ai nazionali di fisica può essere un buon allenamento

Detta $ K $ l'energia cinetica, sappiamo che $ E=V+K $ e, essendo $ E\leq0 $, $ |E|=-V-K $.
Dunque la tesi diventa $ IV^2\geq-2VL^2-2KL^2\implies IV^2+2L^2V+2KL^2\geq0 $.
Guardandola come una disequazione di secondo grado in $ V $, affinché sia sempre non negativa basta che sia $ \Delta\leq0\implies L^4-2IKL^2\leq0\implies L^2\leq2IK $.
Ora, $ L=\sum mr^2\omega $, $ I=\sum mr^2 $, $ K=\frac{1}{2}\sum mr^2\omega^2 $.
Riscriviamo: $ \left(\sum mr^2\omega\right)^2\leq\left(\sum mr^2\right)\left(\sum mr^2\omega^2\right) $, vera per C-S (woow! ) sulle due $ N $-uple $ \sqrt{mr^2} $ e $ \sqrt{mr^2\omega^2} $.
(ho tralasciato indici ecc, ma si capisce lo stesso!)

Perfetto tranne per una cosa! Quando esprimi $ K $ come sommatoria tieni conto solo della velocitá tangenziale (quella con $ v=\omega r $) e ti dimentichi della componente radiale. Quindi $ K $ in realtá è maggiore o uguale a quella sommatoria quindi si ha semplicemente una disuguaglianza più larga

Hai ragione, per qualche motivo ho mentalmente immaginato solo moti circolari.
Carina, comunque!

Bomber!
Gimmy oro alle IPhO

simone256 ha scritto:Bomber!
Gimmy oro alle IPhO

Sì, certo, tu intanto vedi di non alzare troppo i cutoff a Senigallia. -.-

GimmyTomas ha scritto:

simone256 ha scritto:Bomber!
Gimmy oro alle IPhO

Sì, certo, tu intanto vedi di non alzare troppo i cutoff a Senigallia. -.-

Le ultime parole famose...
Ripeto:
Gimmy oro alle IPhO!!!!

simone256 ha scritto: Le ultime parole famose...
Ripeto:
Gimmy oro alle IPhO!!!!

Sì, invece "Bomba alle IPhO" sembra un attentato...
Btw, li abbiamo alzati entrambi i cutoff!