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Ciao a tutti, avrei bisogno di un vostro aiuto riguardo ad alcuni esercizi di meccanica quantistica. Nel primo esercizio non riesco a capire come valutare il valore d'aspettazione dell'hamiltoniana perturbativa. Nel secondo esercizio invece non capisco cosa devo fare nel terzo punto. Di seguito le tracce dei problemi
1)
Si consideri una particella di massa m confinata su una circonferenza di raggio R. Dopo aver descritto le funzioni d’onda per i due stati ad energia più bassa (non nulla) del sistema imperturbato, valutare le correzioni al primo ordine al valore imperturbato dell’energia dovute alla perturbazione
𝐻′=𝐴 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃,
dove 𝜃 descrive la posizione sulla circonferenza.

2)
Si consideri un sistema a tre livelli descritto dall’hamiltoniana:
𝐻̂=ℏ𝜔 |2 0 𝑖|
|0 1 0|
|−𝑖 0 2|

Una certa osservabile fisica del sistema A è rappresentata dall’operatore:
𝐴̂=𝑏 𝐴,con b una costante reale di dimensioni opportune e
A= |3 −𝑖√2 𝑖 |
|𝑖√2 2 √2|
|−𝑖 √2 3 |
a) Determinare i valori di energia che possono essere misurati.
b) Stabilire se A è costante del moto.
c) Determinare le tre coppie di autovalori che definiscono in modo univoco gli autostati delle osservabili.