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Due sfere di raggio R e uniformemente cariche con densità di carica opposta hanno una distanza tra i due centri $ d< 2R $.
Si mostri che il campo elettrico all'interno della regione di sovrapposizione delle due sfere è uniforme e proporzionale a d.

Davvero carinissimo questo problema (sns 2006), potevo quasi postarlo in geometria

Potremmo partire dal fatto che:



Detto $ ~E_+ $ il campo dovuto alla sfera con carica positiva a distanza $ ~r_+ $ ed $ ~E_- $ il campo dovuto alla carica negativa a distanza $ ~r_- $, e $ ~\rho $ la carica per unità di volume, e considerando che i vettori campo elettrico e area sono in ogni punto perpendicolari e che E è costante su una superficie sferica:

$ \displaystyle \varepsilon_0 \cdot E_+ \cdot 4\pi r_+^2 = \frac{4}{3} \pi r_+^3 \cdot \rho $

$ \displaystyle \vec{E_+} = \frac{\rho}{3 \varepsilon_0} \vec{r_+} $

e, ovviamente, anche:

$ \displaystyle \vec{E_-} = -\frac{\rho}{3 \varepsilon_0} \vec{r_-} $

Per cui nella zona d'intersezione:

$ \displaystyle \vec{E} = \vec{E_+} -\vec{E_-} = \frac{\rho}{3 \varepsilon_0} (\vec{r_+} - \vec{r_-}) $

Ma, per ogni punto nello spazio, $ \vec{r_+} - \vec{r_-} $ è la distanza $ ~d $ tra i centri delle sfere. Quod erat demonstrandum.

TADW_Elessar ha scritto:Ma, per ogni punto nello spazio, $ \vec{r_+} - \vec{r_-} $ è la distanza $ ~d $ tra i centri delle sfere.

Già alla fine la cosa più difficile è accorgersi che si lavora con vettori (per questo è più geometria che altro ) il resto è un banale gauss.

È vero, però con l'aiuto del disegno non dovrebbe essere eccessivamente difficile.

Rilancio con un problema moooolto simile (ok sempre una cavolata è)

Sia considerato un contenuitore cilindrico di raggio a in cui è praticato un lungo foro di raggio b.
Gli assi dei due cilindri sono paralleli e posti ad una distanza d.
Una corrente i è uniformemente distribuita sull'area della sezione trasversale appartenente solo al cilindro di raggio a (insomma i è distruibuita sul cilindro meno che nel buco).
Determinare il campo magnetico all'interno del foro.

Buon lavoro!

È zero? Non sono sicuro di aver capito la situazione...

No non è 0 ( e si risolve in modo molto analogo al precedente) .. la situazione è questa:
Hai un cilindro pieno con un buco cilindrico dentro..e la corrente non passa nel buco cilindrico, nel resto del cilindro la densità di corrente è omogenea.

Buon lavoro!

Continuo a non capire: se prendo una linea circolare dentro il foro e concentrica con esso devo avere:


(Legge di Ampère)

Essendo nel caso specifico $ ~i_{ch} = 0 $ dovrebbe seguire immediatamente $ ~B = 0 $. Mi sono perso qualcosa?

TADW_Elessar ha scritto:dovrebbe seguire immediatamente $ ~B = 0 $. Mi sono perso qualcosa?

Si..hai sciolto l'integrale in modo sbagliato direi..stai applicando una simmetria che non c'è nella situazione in esame i centri dei due cilindri non sono gli stessi (sono a distanza d come detto prima).Quindi nel cilindrettino il B non è necessariamente in direzione radiale.

Se imparassi a leggere bene i problemi... :S

$ \displaystyle B = \frac{\mu_0 i}{2\pi}\frac{d}{a^2-b^2} $

Ciao...scusa se te lo chiedo adesso. Spero che ti ricorderai ancora di questo problema.
Potresti spiegare bene i passaggi che hai fatto??

Perchè a me non risulta che B all'interno del foro sia uniforme..

Grazie Ciao!!