Senior 2013

[dario2994]

@auron95: visto che la dimostrazione è una riga (e stavolta è fatta tramite tecniche olimpiche!), direi che non costa nulla riportarla, no?

Che io ricordi non è facile affatto e manco breve...

[auron95]

In effetti ho cercato online la dimostrazione ma tutti i siti che visitavo tralasciavano la dimostrazione perché al di là delle competenze che volevano trattare...

[EvaristeG]

Uhm forse sbaglio io: $a$ è un quadrato mod $p$ sse $a^{(p-1)/2}\equiv 1 \bmod p$.
Ora, prendi $h=(p-1)/2$. Per ogni numero dispari $0<n\leq h$ puoi scrivere $n\equiv(-n)(-1)^n$, mentre per ogni $m$ pari puoi scrivere $m\equiv m(-1)^m$. Considera che $-1\equiv 2h$, $-3\equiv 2h-2$ e così via, quindi se moltiplichi tutte le congruenze di cui sopra ottieni
$$h!\equiv 2^hh!(-1)^{1+2+\ldots+h}\bmod p$$
da cui
$$2^h\equiv (-1)^{h(h+1)/2}\bmod p$$
e $h(h+1)/2=(p-1)(p+1)/8$, da cui la tesi.

[Sir Yussen]

Si ma... Algebra?

[EvaristeG]

come ho già detto, lamentatevi con teppic.

[AlfaSette]

stavo lavorando su A7 del PreIMO10-P, quando mi sono imbattuto in un dubbio: il testo dice che:

A7. Dimostrare che, per ogni funzione $f : (0, +\infty) \longrightarrow (0, +\infty)$ , esistono almeno due numeri reali $x > 0$ e $y > 0$ tali che:
\begin{align*}
f(x+y)< y f(f(x))
\end{align*}
definiamo però la funzione: $f(x)=0$ se $x$ è intero, $f(x)=1$ altrimenti. Abbiamo che $f(x)$ è sempre intero, quindi $f(f(x))=0$, ma questo implica $LHS\geq RHS=0$ per via del codominio della funzione, quindi la tesi sarebbe falsa. O forse non posso prendere quella funzione per qualche motivo? (nel qual caso mi scuso per il tempo che faccio perdere, ma essendo a un classico con le notazioni mi perdo troppo spesso ) Mi sono bloccato cercando di trovare perché $f(x)$ tende a infinito se $f(f(x))=0$ per ogni $x$, e il video non mi è parso molto chiaro. Se qualcuno mi desse una mano anche su quello gliene sarei grato(per quanto la cosa sia abbastanza legata).

[auron95]

0 è escluso sia dal dominio che dal codominio

[EvaristeG]

La notazione $(a,b)$ indica l'insieme dei numeri reali $x$ tali che $a<x<b$ (si trova(va) anche $]a, b[$), con segni di disuguaglianza stretta.
La tua funzione è definita come $f:(0,+\infty)\to (0,+\infty)$, dunque è una funzione che prende come argomento un numero, indichiamolo con $x$, tale che $0<x<+\infty$ e restituisce come valore un altro numero, denotiamolo con $f(x)$, tale che $0<f(x)<+\infty$.
Dunque, intanto, è impossibile che $f(x)=0$; poi, comunque non ha senso calcolare $f(0)$.

Quindi, il caso $f(f(x))=0$ è escluso per ipotesi. Non credo che il video lo tratti...

[AlfaSette]

La notazione $(a,b)$ indica l'insieme dei numeri reali $x$ tali che $a<x<b$ (si trova(va) anche $]a, b[$), con segni di disuguaglianza stretta.
La tua funzione è definita come $f:(0,+\infty)\to (0,+\infty)$, dunque è una funzione che prende come argomento un numero, indichiamolo con $x$, tale che $0<x<+\infty$ e restituisce come valore un altro numero, denotiamolo con $f(x)$, tale che $0<f(x)<+\infty$.
Dunque, intanto, è impossibile che $f(x)=0$; poi, comunque non ha senso calcolare $f(0)$.

Quindi, il caso $f(f(x))=0$ è escluso per ipotesi. Non credo che il video lo tratti...

quindi era un problema di me che non so leggere le notazioni standard, come pensavo. grazie comunque

[scambret]

È una cosa nota (e soprattutto vera) che tutte le equazioni di Pell hanno una soluzione minima non banale, da cui derivano le infinite??

[kalu]

È una cosa nota (e soprattutto vera) che tutte le equazioni di Pell hanno una soluzione minima non banale, da cui derivano le infinite??

Le equazioni del tipo $x^2-dy^2=1$ (con $d$ intero positivo non quadrato) hanno sempre infinite soluzioni.
Quella banale è $(1, 0)$; infinite (non tutte) non banali si ottengono iterativamente (spiega perchè) con la formula: $$x_{n+1}=x_n^2+dy_n^2$$$$y_{n+1}=2x_ny_n$$
Invece le equazioni del tipo $x^2-dy^2=-1$ hanno soluzione solo a volte.
(perchè do retta ad $\alpha$r3 invece di studiare per la terza prova? )

[EvaristeG]

Credo che la domanda di scambret fosse: chi mi dà la prima soluzione per far partire la ricorsione? (nota che se parti da quella banale, stai in quella banale).
Hint:
1. se trovo infinite soluzioni non banali di $x^2-dy^2=k$, allora trovo una soluzione di $x^2-dy^2=1$ (come?)
2. fissato $d$ esiste un $k$ per cui $x^2-dy^2=k$ ha almeno una soluzione non banale, in quanto dato $\alpha$ reale esistono infinite coppie $(p,q)$ di interi tali che $|\alpha - p/q|<1/q^2$ (è vera questa seconda affermazione? e perché implica la prima?).
Ovviamente, ci sono mille altre strade...

[xXStephXx]

(perchè do retta ad $\alpha$r3 invece di studiare per la terza prova? )

AHAHHAHAHAH ci ho messo un po' a capirla ma supera ogni limite di epicità!

[nassus95]

una domanda veloce (o forse no )

Bisogna spiegare xke
$(p-1)!=-1 (mod p) $ ?

Se si, ce la possiamo cavare con due paroline sull inverso moltiplicativo (o dobbiamo spiegare pure quello? )

Intanto grazie

[Drago96]

Essendo sulle Schede (Teorema di Wilson, scheda N06) mi pare si possa dare per buono...

P.S: sfogliando le schede noto che c'è anche l'omotetia che manda Feuerbach nella circoscritta: si può dare per buona anche questa quindi? (tanto ormai l'esercizio l'ho scritto senza xD)

EDIT: Ah, c'è un'altra dimostrazione, a mio parere davvero carina, di quanto vale $\displaystyle\left(\frac2 p\right)$ che sfrutta il fatto che detta $\sigma(x)=ax$ (con $(a,p)=1$ quindi è una permutazione modulo $p$) allora $\displaystyle\text{sgn}(\sigma)=\left(\frac a p\right)$ (e con $a=2$ viene un conteggio facile facile...)