Dunque, io sono arrivato secondo a Torino (su 10, quindi sono fuori, purtroppo), dietro a Endorendil (mi pare sia il suo nick)... vista la posizione credo di aver fatto tutto giusto, ergo propongo la mia soluzione del 16° esercizio, senza dubbio il più olimpico...
Chiamo il nostro numero di 10 cifre $ a_1a_2a_3a_4a_5a_6a_7a_8a_9a_{10} $. Per il criterio di divisibilità per 11 devo avere $ |(a_1+a_3+a_5+a_7+a_9)-(a_2+a_4+a_6+a_8+a_{10})|=11k $, con k intero. Ma quella differenza è sempre $ >0 $ e $ \leq25 $, quindi considero solo i casi in cui $ LHS=11 $ o $ LHS=22 $.
Parto da quest'ultimo: chiamo le parentesi della differenza scritta sopra $ p $ e $ q $. Ho $ p-q=22 $ e $ p+q=45 $, senonché il sistema dà soluzioni razionali, mentre p e q sono dei naturali!
Quindi deve essere $ p-q=11 $ e questo si ha quando $ p=28 $ e $ q=17 $, dunque quando le cifre di posto dispari sono 9,8,7,3,1 e quelle di posto pari sono 6,5,4,2,0. E' l'unica combinazione, resta da contare il numero di modi in cui posso così costruire numeri da 10 cifre. Basta permutare le cifre di posto dispari e per ogni permutazione posso anche permutare le cifre di posto pari: in entrambi i casi il numero di permutazioni è $ 5! $, pertanto la soluzione è $ (5!)^2=12^2\cdot 10^2=14400 $.
Ciao!
La grandezza dell'uomo si misura in base a quel che cerca e all'insistenza con cui egli resta alla ricerca. - Martin Heidegger
MIND torna!! :D
): (1 2 3 4 7) e (1 2 3 5 6).
:P)
