OliForum Matematico

Salve a tutti, stranamente sul sito della normale ho trovato diverse soluzioni per diversi anni, ma non per la prova di ammissione del 2017/18. Per ora sono interessato solo al primo problema e ai suoi punti:
Sia ([math] a_n) per [math]n = 0, 1, 2, ... una successione infinita di numeri reali non tutti nulli e tali che [math]a_{n+2}=6/5a_{n+1} - a_n per ogni [math]n \ge 0
1) Dimostrare che esiste un unico reale[math]\theta con [math]0\le \theta \le 2π tale che [math]cos \theta = 3/5 e [math]sin \theta = 4/5
2) Dimostrare che esistono unici [math]r > 0 e [math]0\le \alpha \le 2π tali che per ogni [math]n \ge 0 Sì ha [math]a_n= r* cos(\alpha + n\theta)
3) Dalla parte (2) vediamo che la successione è limitata. Fare vedere che nonostante ciò la successione non è periodica, anzi, non può assumere lo stesso valore più di due volte
4) Dimostrare che la successione assume infiniti valori positivi e negativi

Grazie in anticipo a chi mi risponderà

(in ritardo) che le sinusoidi sono monotone e continue da 0 gradi a 90, quindi da 0 a 1 vengono toccati tutti i valori reali compreso 3/5. non viene toccato due o piu volte perche appunto essendo cos e sin positivi, l'angolo sta tra 0 e 90, e siccome sia sin che cos sono a senso unico in tale intervallo ecco che l'angolo è unico. Ho anche avanzato una soluzione per il punto 2, ma per il 3 e il 4 sono piuttosto all'oscuro. Se vuoi condividi qualche idea, o magari qualche utente piu avanzato ci puo venire in aiuto. Comunque una soluzoine si trova su un altro forum solo che fa uso di tecniche avanzate, mi chiedevo se fossero disponibili procedimenti piu elementari.