E' fatto noto che un equazione diofantea in due variabili, del tipo
$ ax+by=c $ abbia soluzioni intere se c divide $ MCD(a,b) $. In particolare è semplice il caso in cui $ MCD(a,b)=1 $ E' anche fatto noto come trovarle.
Mi chiedevo in quale modo (dal momento che credo sia possibile) si può generalizzare questo risultato, ovvero come si possono trovare le soluzioni intere di un'equazione del tipo $ a_1x+a_2y+a_3z+... $ con n coefficienti $ a_i \in \mathbb{Z} $ tutti primi fra loro. Anzi per semplificare li potremo assumere tutti numeri primi.
Se sto dicendo sciocchezze ditemelo!
Grazie, e felice 2010 a tutti i frequentatori dell'oliforum! =)
Equazioni diofantee lineari in n variabili
Equazioni diofantee lineari in n variabili
Ultima modifica di Fedecart il 31 dic 2009, 18:32, modificato 2 volte in totale.
Sia $ gcd(a_1, \ldots, a_n) = d $.
Si trovano i coefficienti $ m_i $ tali che $ m_1a_1 + \ldots + m_na_n = d $. Questi sono facilmente determinabili (per esempio, con i classici vettori riga di n+1 dimensioni).
Quindi moltiplichi a destra e a sinistra per c/d e sarà che $ x_i = m_ic/d $.
Poi fai come al solito (omogenea associata bla bla bla) e trovi le altre.
P.S.: se sono primi fra loro, è solo un caso particolare (che ha ovviamente sempre soluzioni).
Si trovano i coefficienti $ m_i $ tali che $ m_1a_1 + \ldots + m_na_n = d $. Questi sono facilmente determinabili (per esempio, con i classici vettori riga di n+1 dimensioni).
Quindi moltiplichi a destra e a sinistra per c/d e sarà che $ x_i = m_ic/d $.
Poi fai come al solito (omogenea associata bla bla bla) e trovi le altre.
P.S.: se sono primi fra loro, è solo un caso particolare (che ha ovviamente sempre soluzioni).
"Cos'è l'aritmetica?" "E' quella scienza in cui si impara quello che si sa già!"
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Tibor Gallai
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