Quasi un ovvietà, ma volendo dare una dimostrazione formale mi perdo...
Sia $ \alpha \in \mathbb{Q} $ e sia $ \beta \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} $.
Si dimostri che $ \alpha \beta \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} $
Razionale per Irrazionale = Irrazionale
Queste dimostrazioni si fanno sempre per assurdo:
se fosse $ \alpha\beta=x $ con $ x\in\mathbb Q $ allora si avrebbe $ \beta=\frac{x}{\alpha} $, ma questo è assurdo perchè $ \frac{x}{\alpha}\in\mathbb Q $ e per ipotesi $ \beta\in\mathbb R\setminus\mathbb Q $.
Ovviamente devi anche porre $ \alpha $ diverso da 0, altrimenti la tesi è falsa
se fosse $ \alpha\beta=x $ con $ x\in\mathbb Q $ allora si avrebbe $ \beta=\frac{x}{\alpha} $, ma questo è assurdo perchè $ \frac{x}{\alpha}\in\mathbb Q $ e per ipotesi $ \beta\in\mathbb R\setminus\mathbb Q $.
Ovviamente devi anche porre $ \alpha $ diverso da 0, altrimenti la tesi è falsa
Il tempo svela ogni cosa......ma allora perchè quel maledetto problema non si risolve da solo?!
Re: Razionale per Irrazionale = Irrazionale
cosa si intende per:
$ \beta \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} $.
$ \beta \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} $.
Si intende che $ \beta $ è reale ma non è razionale (Hegel potrebbe non essere d'accordo), dunque appartiene all'insieme dei numeri reali privato dei numeri razionali. I numeri razionali sono quelli che puoi scrivere come frazione di due interi, di cui il secondo è diverso da 0, ad esempio 1/2, 5/1, 6/7, -4/2. Definito l'ordinamento usuale sui razionali (ovvero stabilito qual è il maggiore per ogni coppia di razionali), possiamo dividere in diversi modi i razionali in due sottoinsiemi in modo che il primo contenga tutti elementi maggiori di quelli del secondo. Per ognuna di queste bisezioni ci inventiamo un numero reale che sta proprio in mezzo a questi insiemi. Ad esempio:
1 è reale: infatti possiamo prendere da una parte i razionali maggiori o uguali a 1, e dall'altra quelli minori di 1; così 1 si trova in mezzo; in generale ogni razionale è reale;
sappiamo che non esistono razionali il cui quadrato sia 2; prendiamo allora da una parte i razionali positivi il cui quadrato sia maggiore di 2 e dall'altra tutti gli altri (i negativi e quelli il cui quadrato è minore di 2). Inventiamo allora un nuovo numero, $ \sqrt{2} $, che stia proprio a fare da spartiacque; tale numero ovviamente non esisteva nei razionali, dunque possiamo anche imporre che il suo quadrato sia proprio 2.
1 è reale: infatti possiamo prendere da una parte i razionali maggiori o uguali a 1, e dall'altra quelli minori di 1; così 1 si trova in mezzo; in generale ogni razionale è reale;
sappiamo che non esistono razionali il cui quadrato sia 2; prendiamo allora da una parte i razionali positivi il cui quadrato sia maggiore di 2 e dall'altra tutti gli altri (i negativi e quelli il cui quadrato è minore di 2). Inventiamo allora un nuovo numero, $ \sqrt{2} $, che stia proprio a fare da spartiacque; tale numero ovviamente non esisteva nei razionali, dunque possiamo anche imporre che il suo quadrato sia proprio 2.
Sono il cuoco della nazionale!