Induzione

Cosa sono il pigeonhole e l'induzione? Cosa dice il teorema di Ceva? 1 è un numero primo?
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Hawk
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Induzione

Messaggio da Hawk » 14 feb 2011, 20:09

Scusate per la domanda un po' sciocca e banale per un forum avanzato come questo, spero sia la sezione giusta per questa richiesta. Ho da poco visto il principio di induzione, ma non riesco ad applicarlo negli esercizi di dimostrazione, speravo che qualcuno più in gamba di me mi mostrasse un esempio pratico, un qualsiasi esercizio. Grazie infinite per la pazienza e per gli aiuti!! :D
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Claudio.
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Re: Induzione

Messaggio da Claudio. » 15 feb 2011, 00:51

Credo che ci siano 20 000 topic su ciò, ma l'induzione è solo un metodo di dimostrazione conoscendo già la soluzione, quindi se non riesci ad applicarlo per dimostrare non credo tu possa applicarlo per qualche altra cosa :mrgreen:
Comunque i classici sono:
Dimostrare che la somma per primi n numeri: $1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$.
Dimostrare che la somma dei primi quadrati\cubi vale $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ \ $(\frac{n(n+1)}{2})^2$
Mettiamoci anche $1+a+a^2+a^3+...+a^n=\frac{a^{n+1}-1}{a-1}$
Oppure dimostrare che le potenze di 3 hanno sempre la cifra delle decine pari :mrgreen:
Procedi in questa maniera:
Passo base: verifichiamo che vale per 0(non necessariamente 0, ma quello che userai come passo base sarà il primo per cui varrà la proprietà)
$0=\frac 02$ vale, adesso prendiamo come ipotesi $1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$ e dimostriamo che vale anche per n+1 cioè:
$1+2+3+...+n+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$
Allora utilizziamo l'ipotesi induttiva e il membro a sinistra diventa $\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)$ sommiamo $\frac{n(n+1)+2(n+1)}{2}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$ che è ciò che volevamo dimostrare.
Ora capisci che l'utilità dell'induzione sta nel poter avvalersi dell'ipotesi induttiva appunto.
Prova gli altri ^^

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Re: Induzione

Messaggio da SkZ » 15 feb 2011, 17:55

meglio se posti un esempio in cui non riesci. Non e' detto che sia effettivamente possibile usare l'induzione o che sia cosi' ovvio. ;)

l'induzione in pratica e' che se prendi un sottoinsieme di $\mathbb{N}$ (quindi dotato di minimo) e sai che se una regola vale per un suo elemento vale anche per il suo successivo (e l'insieme e' ben ordinato) e sai che la regola vale per il suo minimo allora la regola vale per tutti gli elementi.
"Banale", ma non sempre la sua applicazione, ovviamente ;)
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Re: Induzione

Messaggio da Hawk » 09 mar 2011, 19:21

Provo a dimostrare che $ 3^k $ ha la cifra delle decine pari. Dimostro che la tesi è valida per $ k=0 $, quindi $ 3^0 $=1, in questo caso la cifra delle decine è uguale a 0 quindi essa è pari. Consideriamo l'ipotesi in cui $ 3^k $ ha la cifra delle decine pari, dimostriamo che è valido per $ k+1 $ $ \Rightarrow $ $ 3^{k+1} $ = $ 3^k \cdot 3 $, abbiamo detto che la cifra delle decine di $ 3^k $ è pari, $ 3^1 $=3 quindi la cifra delle decine è pari, la tesi dovrebbe essere confermata. Non mi convince molto, potreste segnalarmi gli errori?
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Re: Induzione

Messaggio da Kopernik » 09 mar 2011, 20:55

Manca (almeno) un passaggio. Devi dimostrare che il prodotto di due numeri aventi le decine pari ha le decine pari (cosa che, ovviamente, non è vera in generale, ma vale in questo caso).
[tex]A \epsilon \iota \quad o \quad \theta \epsilon o \varsigma \quad o \quad \mu \epsilon \gamma \alpha \varsigma \quad \gamma \epsilon \omega \mu \epsilon \tau \rho \epsilon \iota \quad (\Pi \lambda \alpha \tau \omega \nu)[/tex]

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Re: Induzione

Messaggio da paga92aren » 09 mar 2011, 20:58

Il prodotto di due numeri che hanno la cifra delle decine pari ha la cifra delle decine pari? tu usi questo che in generale non vale, ma puoi usare l'induzione comunque.

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Re: Induzione

Messaggio da SkZ » 10 mar 2011, 17:22

devi proprio dimostrare che $3^k\cdot 3$ ha la cifra delle decine pari. dato che $3^k$ ce l'ha e pari per qualcosa e' pari, ti rimane solo da dimostrare una cosa.
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Re: Induzione

Messaggio da Hawk » 11 mar 2011, 14:58

Grazie mille per i consigli! :D
Credo di aver capito come procedere. Per $ k=0 $ la tesi è vera $ 3^0=1 $ quindi la cifra delle decine è pari. Adesso diamo per ipotesi che $ 3^k $ ha la cifra delle decine pari e dimostriamo che la cosa funziona anche per $ 3^{k+1} $. Quindi $ 3^{k+1} $= $ 3^k \cdot 3 $, in particolare 3^k può terminare con la cifra delle unità 1,3,7,9, che moltiplicate per tre otterrò come cifra delle decine rispettivamente: 0,0,2,2, il riporto quindi è pari. Se moltiplico la cifra delle decine di 3^k (che è pari) per 3 otterrò un pari che sommato al riporto pari mi darà di conseguenza una cifra pari, la tesi è dimostrata. Ditemi se ora va bene e vi chiedo se potete aiutarmi a formalizzare evitando questo mucchio di parole e ripetizioni.
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