Somme infinite...

Cosa sono il pigeonhole e l'induzione? Cosa dice il teorema di Ceva? 1 è un numero primo?
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Drago96
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Somme infinite...

Messaggio da Drago96 » 26 lug 2011, 10:59

Gironzolando per wikipedia mi sono imbattuto in due somme infinite che mi hanno lasciato perplesso...
La prima è quella di Grandi, $ \displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n} $ che non è determinata, anche se dovrebbe essere 1/2 , però non riesco a capire come faccia una somma di interi ad essere una frazione... :?
Poi c'è la serie $\displaystyle{1+1+1+...=\sum_{n=1}^{\infty}n^0}$ e leggo che fa $\displaystyle{-\frac{1}{2}}$ :shock:
E qua davvero sono rimasto spiazzato... sono tutti interi positivi! Come fa la loro somma ad essere negativa e frazionaria?!? :shock:
Io ho sempre saputo che $\displaystyle{\sum_{i=m}^n x=x(n-m+1)}$ ... :? Che applicato alla sommatoria qua sopra, dovrebbe dare $\infty$

Qualcuno può spiegarmelo semplicemente, oppure è meglio che per ora me ne stia lontano da $\infty$ ?
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dario2994
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Re: Somme infinite...

Messaggio da dario2994 » 26 lug 2011, 12:47

Alur... tutto dipende da come definisci una somma infinita.
La definizione intuitiva è:
$\displaystyle \sum_{i=0}^{\infty}a_i=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^na_i$
In particolare se il limite non esiste allora la somma non è determinata altrimenti hai il valore del limite.
In questo modo ottengo che la somma di Grandi non è determinata e che la somma di uni fa infinito.
Da dove escono invece i bizzarri risultati di wiki?
Il primo esce dal fatto che $\displaystyle \sum_{i=0}^\infty x^i=\frac{1}{1-x}$ per $|x|<1$ (questo con la definizione di cui sopra) (se non conosci questa identità dimostrala ;) ). E quindi qualcuno potrebbe decidere che quando la definizione di sopra non funziona, cioè quando il limite non esiste allora assegno alla sommatoria infinita il valore di $\frac 1{1-x}$... insomma estendo la definizione (tutto ciò credo sia mooooolto più complicato da spiegare, ma credo tu ti possa felicemente accontentare). E perciò quando x=-1 posso dire che la somma fa $\frac{1}{1-(-1)}=\frac12$
Un altro modo ancora per arrivare allo stesso risultato (questo l'ho spizzato da wiki) è definire diversamente le sommatorie infinite:
$\displaystyle \sum_{i=0}^{\infty}a_i=\lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{k=0}^n\sum_{i=0}^ka_i}{n}$ (chiamata da wiki somma di cesarò)
Anche con questa definizione se $a_i=(-1)^i$ vale che la sommatoria fa $\frac12$ (è interessante chiedersi quando le 2 definizioni risultano uguali... pensaci ;) )
L'altro risultato... bon è più difficile! Si sfrutta un'idea simile al primo "allargamento di definizione" di cui ho parlato sopra... solo che stavolta la sommatoria è:
$f(x)=\displaystyle \sum_{i=0}^\infty i^{-x}$ (anche detta zeta di riemann (sì, proprio quella famosa :P ) )e non $\displaystyle \sum_{i=0}^\infty x^i$
È chiaro che la sommatoria di 1 è in qualche modo $f(0)$... e allora? Bon $f(x)$ ha un valore secondo la prima definizione che ho piazzato (quella alla terza riga) ad esempio se $x>1$ reale (se non conosci questo fatto dimostralo ;) ) ... e questo valore si può scrivere in un altro modo in funzione di x, usando altre funzioni che in 0 continuano ad avere un valore o quasi (il limite per x in 0 almeno esiste) e quindi a $f(0)$ decido di appioppargli proprio quel valore! Che pare essere $-\frac12$ (anche qui, per capirci davvero qualche cosa credo serva un bel poco di teoria :? )

Non escludo che non si capisca nulla... :?
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FrancescoVeneziano
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Re: Somme infinite...

Messaggio da FrancescoVeneziano » 26 lug 2011, 13:35

Giusto per capirci:
non è vero che $\sum_{n=0}^\infty(-1)^n$ è 1/2, e non è vero che $\sum_{n=0}^\infty 1$ è -1/2
pensarlo è sbagliato e crea solo confusione. Quelle serie non sono nulla; sono simboli tracciati sul foglio e privi di significato in matematica.
Non so quanto sai di analisi, ma c'è una definizione precisa del valore di una serie, e quelle non ne hanno alcuno.

Quelle "uguaglianze" sono ottenute tramite estrapolazioni di questo tipo:
invece di considerare una serie di numeri reali, considera una serie di funzioni, per esempio $f_n(x)=x^n:(-1,1)\to\mathbb{R}$.
Come definisci una serie di numeri puoi definire una serie di funzioni, e dire che $f:=\sum_{n=0}^\infty x^n:(-1,1)\to \mathbb{R}$ è la funzione che ad ogni $x\in(-1,1)$ associa il numero reale $\sum_{n=0}^\infty x^n$ (nota: questa definizione da sola non è "autosufficiente", quando la dai devi prima verificare che, per ogni x nel dominio, il simbolo $\sum_{n=0}^\infty x^n$ rappresenti effettivamente un numero reale, e non sia uno scarabocchio senza significato).

Può accadere poi che queste funzioni si possano rappresentare in modo semplice in termini di funzioni convenzionalmente chiamate "elementari"; nel nostro caso capita che, per ogni $x\in(-1,1)$ vale
$\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac{1}{1-x}$ (1)
A questo punto tu potresti essere tentato di fare qualcosa di illecito, e sostituire in quell'uguaglianza $x=-1$; questo è profondamente sbagliato, perché quelle (sia a destra che a sinistra), sono funzioni da da $(-1,1)$ e sostituire 1 ha lo stesso senso che sostituire la capitale del Perù nella funzione coseno.
Però, potresti dire, la funziona a destra "in realtà" è una funzione definita anche altrove. Hai parzialmente ragione, in effetti la funzione sulla destra si estende ad una funzione su tutto $\mathbb{C}\setminus\{1\}$ (permettimi di dire), per la precisione quella che ad ogni $x\in \mathbb{C}\setminus\{1\}$ associa il numero complesso $\frac{1}{1-x}$, e questa estensione non è campata per aria, ma è "canonica" in un senso ben preciso.
Ciò non toglie, però, che nell'uguaglianza (1) non puoi comunque sostituire $x=-1$, perché anche se a destra c'è qualcosa cui possiamo dare un senso univoco, a sinistra non c'è nulla.
Ma, potresti dire, possiamo prendere l'uguaglianza (1) ed usarla come definizione del simbolo $\sum_{n=0}^\infty(-1)^n$.
Sbagliato. Infatti la scelta delle funzioni $f_n$ è stata arbitraria e nulla vieta che altre scelte conducano a differenti funzioni $f$, che porterebbero a valori diversi.
In conclusione, non confonderti le idee, e se vuoi imparare come funzionano queste cose studia per bene l'analisi.

Detto questo, qualcosa si può comunque fare. Ci sono diverse nozioni di sommabilità di serie divergenti che danno un senso rigoroso a questi discorsi; l'importante è sapere quello che si sta facendo.
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Drago96
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Re: Somme infinite...

Messaggio da Drago96 » 26 lug 2011, 14:09

Non ho capito quasi nulla da nessuno dei due post... :oops:
Sarà perchè di analisi non so niente (anche se mi piacerebbe imparare qualcosa), ma ho capito ben poco... :cry:

Intanto $(-1,1)$ cos'è? L'insieme costituito dagli elementi -1 e 1?
E perchè non ha senso sostituire $x=-1$ ?
Cosa vuol dire che quelle due serie non hanno senso?

Forse è meglio che per il momento lasci perdere queste cose...

Comunque grazie mille a tutti e due! :)
Ora l'argomento mi è un po' più chiaro...
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Re: Somme infinite...

Messaggio da exodd » 26 lug 2011, 15:18

e se ti dicessi che
$ 1-2+3-4+5-...=1/4 $
e che
$ 1+2+3+4+5+...=-1/12 $
?
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
EvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
ispiratore del BTA

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Re: Somme infinite...

Messaggio da <enigma> » 26 lug 2011, 15:27

Se non conosci la nozione di prolungamento analitico inutile chiedere finché non studierai Analisi matematica. Basti sapere che la restrizione del prolungamento analitico all'insieme di definizione della tua funzione analitica (in questo caso, serie) è la funzione stessa, ma c'è qualche sottigliezza sull'unicità di tale prolungamento -mi pare occorra il teorema di identità per funzioni olomorfe-. In modo più elementare invece puoi definire invece come già detto dagli altri diversi metodi di sommazione (Cesàro, Abel e compagnia bella), e qui c'è tutto un discorso sui teoremi abeliani per metodi di somma come questi (sui teoremi tauberiani ammetto purtroppo di essere assai ignorante). Se ti interessa il discorso su Wikipedia, MathWorld o PlanetMath dovrebbero esserci dissertazioni esaurienti.


Ooops (edit)... mi accorgo adesso del tipo dei tuoi dubbi e della bella risposta di FrancescoVeneziano. Limitati a leggere la prima frase del mio post.
Ultima modifica di <enigma> il 26 lug 2011, 15:29, modificato 1 volta in totale.
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Re: Somme infinite...

Messaggio da max tre » 26 lug 2011, 15:28

Drago96 ha scritto:Intanto $(-1,1)$ cos'è? L'insieme costituito dagli elementi -1 e 1?
Al posto di $(-1,1)$ leggi $-1<x<1$
Drago96 ha scritto:E perchè non ha senso sostituire $x=-1$ ?
Ora ti dovrebbe essere chiaro
Drago96 ha scritto:Cosa vuol dire che quelle due serie non hanno senso?
Beh, come ha già scritto Francesco, dipende dalla definizione
Ma per come vedrai limiti e (se le vedrai) serie, tutte le uguaglianze riportate da wikipedia non hanno alcun senso
(quindi evita di venirtene fuori in classe con cose tipo $ 1+2+3+...+\infty=-\frac{1}{12} $, ok? :D )
Non vuol dire che siano completamente prive di senso, però devi scegliere delle definizioni ad hoc per poter dargli un senso
Ad esempio, la già citata somma di cesarò è una "buona" definizione di somma di una serie quando la serie converge (cioè tende a un limite finito)
Quando la serie non converge (come tutte, mi pare, quelle sopra) applicare questa definizione e spacciarla per equivalente a quella usuale è sbagliato
Drago96 ha scritto:Forse è meglio che per il momento lasci perdere queste cose...
Sta a te scegliere, però di sicuro non prendere per oro colato quello che trovi su wikipedia
(cosa che non mi sembra tu abbia fatto, visto che hai riportato qui una "critica")

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Re: Somme infinite...

Messaggio da max tre » 26 lug 2011, 15:30

exodd ha scritto:$ 1+2+3+4+5+...=-1/12 $
cattivo :mrgreen:

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Re: Somme infinite...

Messaggio da Drago96 » 26 lug 2011, 16:05

Grazie a tutti!
Quindi in un certo senso la Matematica è un'opinione? xD

Vedrò di guardarmi qualcosa sull'Analisi... Se qualcuno mi consigliasse dove... :roll:
Magari dopo questo discorso mi sarà più chiaro...

P.S: 1+2+3+4+...=-1/12 è sempre una sostituzione "sbagliata"?
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Re: Somme infinite...

Messaggio da FrancescoVeneziano » 26 lug 2011, 19:29

Drago96 ha scritto:Quindi in un certo senso la Matematica è un'opinione? xD
No.
Drago96 ha scritto:Vedrò di guardarmi qualcosa sull'Analisi... Se qualcuno mi consigliasse dove... :roll:
Ma tu in che classe sei? Il suggerimento universale è di procurarti il mai sufficientemente elogiato Che cos'è la matematica? e leggertelo da cima a fondo. Copre anche un po' di analisi, ma è una panoramica molto ben fatta su buona parte della matematica.
Drago96 ha scritto:P.S: 1+2+3+4+...=-1/12 è sempre una sostituzione "sbagliata"?
Direi proprio di sì, salvo *forse* in contesti specialissimi che comunque non mi è mai capitato di incontrare tra università e dottorato.
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