Successione per ricorrenza

Cosa sono il pigeonhole e l'induzione? Cosa dice il teorema di Ceva? 1 è un numero primo?
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dalferro11
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Successione per ricorrenza

Messaggio da dalferro11 » 29 lug 2020, 11:56

Ciao a tutti!!
Problema:
Quale é la forma chiusa della seguente successione definita per ricorrenza?

G(n+2) = 2G(n) + G(n+1) - 6

Il - 6 é obbligatorio
la mancanza di cultura matematica si manifesta drasticamente nell'eccessiva precisione di calcolo.

K. F. Gauss

fph
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Re: Successione per ricorrenza

Messaggio da fph » 29 lug 2020, 13:52

Giusto per sapere da dove partire, sai già come si trovano le soluzioni di $G(n+2) = 2G(n) + G(n+1)$, senza il $-6$?
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dalferro11
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Re: Successione per ricorrenza

Messaggio da dalferro11 » 29 lug 2020, 14:23

Si certo.
Mi sono dimenticato di scrivere le condizioni iniziali:
G(0)=4
G(1)=4
la mancanza di cultura matematica si manifesta drasticamente nell'eccessiva precisione di calcolo.

K. F. Gauss

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Re: Successione per ricorrenza

Messaggio da valebadda » 29 lug 2020, 15:57

Prova a creare una sequenza che differisce di una costante: K_n = G_n + c e scegli la costante adatta per renderla una del tipo spiegato da fph. Per tornare alla sequenza originale, ti basterà togliere la costante.
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dalferro11
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Re: Successione per ricorrenza

Messaggio da dalferro11 » 29 lug 2020, 18:34

Dunque. Io l'ho risolto così.
Prima ho determinato la forma chiusa senza il termine
-6.
Poi ho costruito la sequenza di numeri con questa forma chiusa e l'ho confrontata con quella originale calcolando la sequenza delle differenze fino a trovarne la legge e quindi aggiungendola alla successione originale. Mi viene una funzione esponenziale aggiunta ad una funzione quadratica con la variabile n>=2
Credo fosse l'idea anche di fph. Qualche altra soluzione?
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Re: Successione per ricorrenza

Messaggio da fph » 29 lug 2020, 18:42

Esatto, la tecnica "standard" è quella. Se vuoi una soluzione diversa, puoi ragionare così: la funzione $H(n) = 2G(n) + G(n+1) - G(n+2)$ è costantemente uguale a $6$; quindi in particolare soddisfa $H(n+1) = H(n)$, cioè $2G(n+1) + G(n+2) - G(n+3) = 2G(n) + G(n+1) - G(n+2)$, e questa è una successione per ricorrenza lineare (di ordine 3) senza termini noti.
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Re: Successione per ricorrenza

Messaggio da dalferro11 » 29 lug 2020, 18:49

... Interessante fph!!
grazie la tua soluzione é piú elegante.
Ti faccio una domanda per chiarezza

Solo il fatto che H(n+1)=H(n) non garantisce che entrambe siano uguale a - 6, oppure é sufficiente notare che devo avere 3 condizioni iniziali?
H(0)=4
H(1) =4
H(2) =6
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Re: Successione per ricorrenza

Messaggio da fph » 30 lug 2020, 09:12

Esatto, ti servono 3 condizioni iniziali per $G$ (non $H$): se hai $G(0)$, $G(1)$, $G(2)$ allora anche $2G(n) + G(n+1) - G(n+2)$ è fissato.
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Re: Successione per ricorrenza

Messaggio da dalferro11 » 30 lug 2020, 10:01

Grazie. 👍
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