$ (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac \pm bd)^2 + (ad \mp bc)^2 $
Essa dimostra che il prodotto di due numeri rappresentabili come somma di due quadrati è rappresentabile come somma di due quadrati, e per questo motivo risulta utile in teoria dei numeri (anche se può essere applicata anche ad altre situazioni, ovviamente... leggete le dispense del Poloni per credere
). Mnemonicamente, posto $ z = a + ib $ e $ w = c + id $, l'identità esprime il fatto che il valore assoluto del prodotto di due numeri complessi è uguale al prodotto dei valori assoluti:$ \mid zw\mid = \mid z\mid \mid w\mid $
Come curiosità (non credo che possa mai servire per un problema olimpico), riporto anche un'identità analoga con quattro quadrati, attribuita a Leonhard Euler:
$ (a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2) =\, $
$ =(a_1 b_1-a_2 b_2 - a_3 b_3 - a_4 b_4)^2 + (a_1 b_2 + a_2 b_1 + a_3 b_4 - a_4 b_3)^2\, $
$ +\,(a_1 b_3 - a_2 b_4 + a_3 b_1 + a_4 b_2)^2 + (a_1 b_4 + a_2 b_3 - a_3 b_2 + a_4 b_1)^2\, $
Bella vero?
Salvatore