Serie geometriche [era: vago tentativo...]

[hydro]

vorrei esporre a pubblico più esperto un mio timido tentativo di generalizzazione (magari è radicalmente sbagliato, o magari è la cosa più scontata del mondo) delle serie del tipo $ \displaystyle\sum_{k=0}^{n}\frac 1{q^k} $ con q fisso naturale e diverso da 0.

(1) $ \displaystyle\sum_{k=0}^{n}\frac 1{2^k}=\frac {2^{n+1}-1}{2^n} $

dimostriamo la (1) per induzione:

1) essa è sicuramente valida per $ n=0 $. Infatti $ \displaystyle\frac 1 {2^0}=1 $ e $ \displaystyle\frac {2^1-1}{2^0}=1 $
2) se essa è valida per ogni $ \displaystyle n $, allora è valida per $ \displaystyle n+1 $

(2) $ \displaystyle\sum_{k=0}^{n+1}\frac 1{2^k}=\frac {2^{n+2}-1}{2^{n+1}} $

$ \displaystyle\sum_{k=0}^{n+1}\frac 1{2^k}=\sum_{k=0}^{n}\frac 1{2^k}+\frac 1{2^{n+1}} $ da cui si ottiene facilmente la (2)

ora consideriamo il fatto che

$ \displaystyle\sum_{k=0}^{n}\frac 1{3^k}=\frac {3^{n+1}-1}{2*3^n} $ e $ \displaystyle\sum_{k=0}^{n}\frac 1{4^k}=\frac {4^{n+1}-1}{3*4^n} $

dimostrabili in modo analogo alla (1).
La mia domanda è: si può allora generalizzare dicendo che (3) $ \displaystyle\sum_{k=0}^{n}\frac 1{q^k}=\frac {q^{n+1}-1}{{(q-1)}{q^n}} $ ???

Il mio secondo dubbio è ancora più azzardato, poichè non ho ancora fatto l'analisi a scuola... Tuttavia mi sento abbastanza in grado di poter affermare che le suddette serie convergono. Così ho tentato di fare un calcolo in modo mooolto empirico del valore a cui tendono per $ \displaystyle n $ che tende a + infinito. La frazione $ \displaystyle\frac {q^{n+1}-1}{{(q-1)}{q^n}} $ è riscrivibile come $ \displaystyle {(q^{n+1}-1)}*\frac 1{{(q-1)}{q^n}} $ che applicando banalmente la proprietà distributiva risulta essere $ \displaystyle \frac q{q-1}-\frac 1 {{(q-1)}{q^n}} $. Ora, se $ n $ tende a + infinito, il secondo valore dell'espressione tende a 0. Così il valore a cui tende la (3) è $ \displaystyle\frac {q}{q-1} $. Demolite pure questa mia analisi senza riguardi...

[Boll]

Per la generalizzazione credo ti possa essere utile questo

Riguardo al passaggio al limite, credo il tuo metodo sia giusto e credo si possa fare anche così:
$ \displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{q^{n+1}-1}{(q-1)q^n} $$ \displaystyle=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{q^{n}(q-1)+q^n-1}{(q-1)q^n} $$ \displaystyle=1+\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{q^n-1}{(q-1)q^n} $$ \displaystyle=1+\frac{1}{q-1} $ q.e.d

[Marco]

$ \displaystyle\sum_{k=0}^{n}\frac 1{3^k}=\frac {3^{n+1}-1}{2*3^n} $ e $ \displaystyle\sum_{k=0}^{n}\frac 1{4^k}=\frac {4^{n+1}-1}{3*4^n} $

dimostrabili in modo analogo alla (1).
La mia domanda è: si può allora generalizzare dicendo che (3) $ \displaystyle\sum_{k=0}^{n}\frac 1{q^k}=\frac {q^{n+1}-1}{{(q-1)}{q^n}} $ ???

Ciao. Beh, se davvero sai fare il caso q = 3 e q = 4 "in modo analogo alla (1)", dovresti saperlo fare per tutti i numeri.

C'è però una condizione su q che deve essere soddisfatta, altrimenti le formule non hanno senso (ad esempio, q=1, l'enunciato è falso).

Dicci se ti serve di vedere i passaggi svolti per il caso q generico, altrimenti provaci un pochino. L'idea dell'induzione va bene, si tratta di fare i conti.

Ciao. M.