1-Angoli, angoli e ancora angoli
Inviato: 10 mag 2005, 00:05
Ordunque, cominciamo con la Geometria.
Mi scuso con chiunque pensasse che questi miei deliri sarebbero iniziati prima, ma sinceramente mi sembrava inopportuno e massacrante cominciare prima di Cesenatico.
Veniamo ora all'argomento del thread.
Gli Angoli
Ben pochi problemi nella geometria delle gare olimpiche hanno soluzioni che non usano angoli o lunghezze, similitudini o congruenze.
Visto però che la maggior tecnica è richiesta dai primi, decido di iniziare da essi.
La teoria che coinvolge direttamente e solamente gli angoli è piuttosto scarsa, quindi per prima cosa vi voglio mostrare alcuni problemi la cui risoluzione usa unicamente o quasi quella tecnica che in inglese si direbbe angle-chasing e che in italiano può ben prendere il nome di andar per angoli.
Problema 1 (Gara a squadre 2005 - semifinale di Cesenatico)
ABC è un triangolo isoscele su base AB; A' e B' sono punti su BC e AC tali che AA'C, BB'C, BB'A, AA'B sono isosceli. Sia C' l'intersezione tra AA' e BB'. Calcolare l'angolo A'C'B'.
Nota : non è specificato su che basi i quattro triangoli del testo sono isosceli; risolveremo il problema supponendo che la situazione sia : AA'B isoscele su base A'B e BB'A isoscele su base B'A, AA'C isoscele su base AC e BB'C isoscele su base BC.
Bene, il problema non è certo un IMO e qualcuno potrebbe liquidarlo con due righe e il risultato, ma cerchiamo di vedere un pochino quali sono le (poche) idee chiave della sua soluzione.
1)Se avrete la pazienza di disegnare la figura, noterete che l'angolo richiesto è calcolabile in uno sproposito di modi : come supplementare dell'angolo AC'B' (o BC'A'), come angolo del quadrilatero CA'B'C', come angolo del triangolo ABC'.
Questo passaggio può sembrare banale nello specifico di questo problema, ma è una delle cose che ritengo fondamentali nella soluzione di un problema di geometria : rispondere alla domanda "A che cosa è equivalente la richiesta del testo?".
Ora, quando si tratti di calcolare un elemento della configurazione data, il quesito si trasforma in "Cosa devo conoscere per calcolarlo?" e spero che tutti sarete d'accordo con me nel dire che è una domanda indispensabile da porsi; se invece il problema chiede di dimostrare qualcosa, l'utilità del farsi una simile domanda potrebbe non essere evidente, ma è esattamente la stessa, o forse anche maggiore, in quanto ci può suggerire quali sono i passaggi intermedi da compiere per arrivare alla soluzione, ovvero quali sono le altre cose da dimostrare (si spera più semplici). A volte è anche utile chiedersi se esistono fatti che implicano la tesi ma non le sono equivalenti...ma andiamo con calma.
2)Bene, quindi abbiamo trasformato il quesito nel trovare alcuni angoli un po' più amichevoli; ovviamente non possiamo sapere quale delle strade di calcolo indicate più sopra sia la migliore, ma possiamo provare a vedere cosa riusciamo a tirar fuori senza fatica dalle ipotesi.
Vediamo che:
ABC isoscele su base BA ===> $ \measuredangle ABC=\measuredangle BAC $
AA'B isoscele su base BA' ===> $ \measuredangle ABA'=\measuredangle BA'A $
ABB' isoscele su base AB' ===> $ \measuredangle BAB'=\measuredangle AB'B $
AA'C isoscele su base AC ===> $ \measuredangle A'AC=\measuredangle A'CA $
BB'C isoscele su base BC ===> $ \measuredangle CBB'=\measuredangle B'CB $
Ora, con un po' più di lavoro vediamo che ci si può ridurre a due sole catene di uguaglianze :
$ \measuredangle ABC=\measuredangle BAC=\measuredangle BA'A=\measuredangle AB'B $
$ \measuredangle A'AC=\measuredangle A'CA=\measuredangle CBB'=\measuredangle B'CB $
Non mi pare che ci sia altro da ricavare "ovviamente" dalle ipotesi; o meglio, ci sono altre osservazioni da fare, ma queste non riguardano gli angoli del problema. Ci si può aspettare, con ragione in questo caso, che non si debba andare al di là degli angoli per calcolare gli angoli. Questo modo di ragionare non è sempre efficiente, anzi in molti casi è controproducente, ma per ora siamo sul semplice.
Lo scrivere osservazioni varie e banali che seguono senza sforzo dalle ipotesi è un'altra cosa che mi è sempre molto utile nei problemi di geometria; questa pratica, da condurre con un poco di ordine e di metodo, senza mischiarla con altre parti della dimostrazioni in fieri provenienti invece da buone idee e non da prove random, può dare un'idea delle possibilità che si hanno davanti e delle strade che si possono imboccare.
3)"Per comodità di notazione". Questa sarebbe la giustificazione elegante del porre $ \alpha=\measuredangle BCA \ \ \beta=\measuredangle BB'A $; in realtà non è sempre vero che è comodo chiamare ogni grandezza con una lettera. Nel nostro caso, ne abbiamo solo 2 e quindi la cosa non incasinerà troppo; ma avendo 5 o 6 grandezze da nominare, dare a tutte un secondo nome è solo una perdita di tempo.
Ora cerchiamo di legare queste due grandezze; per far ciò dobbiamo ancora ricordarci che non sono alfa e beta, ma degli angoli sulla figura. Questa parte necessita di pratica oppure di c**o; vediamo ad esempio che
nel triangolo ABC possiamo scrivere $ \alpha+2\beta=\pi $
nel triangolo ABA' possiamo scrivere $ \measuredangle BAA'=\pi -2\beta $
nel triangolo AA'C possiamo scrivere $ \measuredangle AA'C=\pi-2\alpha $
nel triangolo ABB' possiamo scrivere ... un momento, ma è quella di prima, a meno di simmetria!!
nel triangolo BB'C possiamo scrivere ... ancora?? già vista, ancora a meno di simmetria.
Nel nostro caso, penso che anche il lattaio del paese si accorgerebbe che la figura è simmetrica, ma, per far le cose in generale, ecco che ne abbiamo una conferma.
Quando si tenta di trovare legami tra le varie parti del problema, le simmetrie giocano un duplice ruolo : il loro uso può aiutare a ricavare uguaglianze e altre relazioni, ma nel contempo la simmetria tra due relazioni può suggerire una più generale simmetria tra gli elementi del problema.
Le relazioni ottenute sono assai antipatiche in quanto non contengono solo alfa e beta, ma anche altra robaccia; del resto finora abbiamo solo usato il fatto che la somma degli angoli interni di un triangolo faccia 180°...proviamo ad uscire un poco : usiamo gli angoli esterni.
E' noto che un angolo esterno è pari alla somma dei due interni non adiacenti. Quindi troviamo :
$ \measuredangle BB'C=\measuredangle ABB'+\beta $
sfruttando il triangolo ABB'.
Oppure
$ \beta=2\alpha $
sfruttando il triangolo AA'C.
Quest'ultima è proprio interessante : lega le due grandezze con le quali avevamo descritto il triangolo.
4) Una rapida verifica ci permette di notare che, conoscendo alfa e beta, potremmo conoscere l'angolo voluto, basterebbe applicare una delle strade suggerite al punto 1).
A questo punto, allora, non è reato tradurre il nostro problema in termini di algebra ed equazioni.
Questo passaggio da geometria ad equazioni è da farsi con attenzione in quanto non sempre quello che vien fuori si presta ad una facile soluzione; del resto è indispensabile sapere tradurre correttamente il problema, in quanto molte volte è la strada più veloce ed elegante.
Nel nostro caso non ci sono molti dubbi :
$ \left\{\begin{array}{rcl}\alpha+2\beta&=&\pi\\ 2\alpha&=&\beta\end{array} \right. $
sfruttando la prima e l'ultima delle relazioni trovate. Quelle intermedie serviranno poi per calcolare l'angolo incognito.
Il sistema ha come soluzione $ \alpha=\pi/5=36^\circ\ \ \beta=2\pi/5=72^\circ $.
Ora, A'C'B' poteva essere calcolato ad esempio come angolo del quadrilatero A'B'C'C; l'angolo in C è alfa, gli angoli in A', B' li conosciamo perchè supplementari di beta : $ \measuredangle AA'C=\measuredangle BB'C=\pi- 2\alpha=108^\circ $.
Quindi $ \measuredangle A'C'B'=2\pi-\alpha-2\measuredangle AA'C=360^\circ-36^\circ-2\cdot 108^\circ=108^\circ $.
Ed ecco la nostra risposta!!
5) Ora scriviamo una soluzione decente :
Poniamo $ x=\measuredangle BCA $.
Osserviamo che, per il teorema sull'angolo esterno, $ \measuredangle BA'A=\measuredangle A'AC + \measuredangle ACB $.
Per ipotesi, AA'C è isoscele su base AC, quindi $ \measuredangle CAA'=\measuredangle ACA'=x $ e dunque $ \measuredangle BA'A=2x $.
Ancora per ipotesi, BA'A è isoscele su base A'B, quindi $ \measuredangle BA'A=\measuredangle ABA'=2x $.
Dunque, sommando gli angoli interni del triangolo ABC, otteniamo $ 5x=\pi $ da cui $ x=36^\circ $.
Ora, $ \measuredangle AA'C=\pi-\measuredangle BA'A=\pi-2x=108^\circ $; infine, sommando gli angoli interni di CA'B'C', otteniamo $ 2\pi=36^\circ+2\cdot 108^\circ+\measuredangle A'C'B' $, da cui il valore cercato è 108°.
Fine del Problema 1.
Esercizio 1 : abbiamo dovuto assumere arbitrariamente su quale base fossero isosceli i triangoli del testo; quali altre configurazioni ci sono? il risultato è sempre lo stesso?
Ecco, a questo punto dovrei aver dato l'idea di cosa intendevo con "andar per angoli"...è proprio un po' come cercar funghi.
In questa risoluzione abbiamo usato più volte alcuni fatti :
*)teorema dell'angolo esterno
*)somma degli angoli interni di un poligono
Spero ovviamente che tutti voi ne conosciate gli enunciati, ma per sicurezza :
Teorema dell'angolo esterno
In un triangolo qualsiasi, un angolo esterno è pari alla somma dei due interni non adiacenti.
Angoli interni
In un generico poligono semplice di n lati la somma degli angoli interni è $ \pi(n-2)[/pi] $.
Ecco, ora...chi me li dimostra?
Domani posterò la risoluzione di un altro problema, un poco più difficile di questo e quindi un po' meno romanzata; nel frattempo, fate pure tutte le domande che volete, basta che l'argomento siano gli angoli e teoremi ad essi legati, anche non inerenti al problema trattato (che spero non possa lasciare dubbi).
Ah, un 'ultima cosa : provate a elencare (qui sul forum o anche solo a mente) tutti i teoremi che vi vengono in mente e che hanno come argomento gli angoli.
Buon Lavoro e Buona Notte.
Mi scuso con chiunque pensasse che questi miei deliri sarebbero iniziati prima, ma sinceramente mi sembrava inopportuno e massacrante cominciare prima di Cesenatico.
Veniamo ora all'argomento del thread.
Gli Angoli
Ben pochi problemi nella geometria delle gare olimpiche hanno soluzioni che non usano angoli o lunghezze, similitudini o congruenze.
Visto però che la maggior tecnica è richiesta dai primi, decido di iniziare da essi.
La teoria che coinvolge direttamente e solamente gli angoli è piuttosto scarsa, quindi per prima cosa vi voglio mostrare alcuni problemi la cui risoluzione usa unicamente o quasi quella tecnica che in inglese si direbbe angle-chasing e che in italiano può ben prendere il nome di andar per angoli.
Problema 1 (Gara a squadre 2005 - semifinale di Cesenatico)
ABC è un triangolo isoscele su base AB; A' e B' sono punti su BC e AC tali che AA'C, BB'C, BB'A, AA'B sono isosceli. Sia C' l'intersezione tra AA' e BB'. Calcolare l'angolo A'C'B'.
Nota : non è specificato su che basi i quattro triangoli del testo sono isosceli; risolveremo il problema supponendo che la situazione sia : AA'B isoscele su base A'B e BB'A isoscele su base B'A, AA'C isoscele su base AC e BB'C isoscele su base BC.
Bene, il problema non è certo un IMO e qualcuno potrebbe liquidarlo con due righe e il risultato, ma cerchiamo di vedere un pochino quali sono le (poche) idee chiave della sua soluzione.
1)Se avrete la pazienza di disegnare la figura, noterete che l'angolo richiesto è calcolabile in uno sproposito di modi : come supplementare dell'angolo AC'B' (o BC'A'), come angolo del quadrilatero CA'B'C', come angolo del triangolo ABC'.
Questo passaggio può sembrare banale nello specifico di questo problema, ma è una delle cose che ritengo fondamentali nella soluzione di un problema di geometria : rispondere alla domanda "A che cosa è equivalente la richiesta del testo?".
Ora, quando si tratti di calcolare un elemento della configurazione data, il quesito si trasforma in "Cosa devo conoscere per calcolarlo?" e spero che tutti sarete d'accordo con me nel dire che è una domanda indispensabile da porsi; se invece il problema chiede di dimostrare qualcosa, l'utilità del farsi una simile domanda potrebbe non essere evidente, ma è esattamente la stessa, o forse anche maggiore, in quanto ci può suggerire quali sono i passaggi intermedi da compiere per arrivare alla soluzione, ovvero quali sono le altre cose da dimostrare (si spera più semplici). A volte è anche utile chiedersi se esistono fatti che implicano la tesi ma non le sono equivalenti...ma andiamo con calma.
2)Bene, quindi abbiamo trasformato il quesito nel trovare alcuni angoli un po' più amichevoli; ovviamente non possiamo sapere quale delle strade di calcolo indicate più sopra sia la migliore, ma possiamo provare a vedere cosa riusciamo a tirar fuori senza fatica dalle ipotesi.
Vediamo che:
ABC isoscele su base BA ===> $ \measuredangle ABC=\measuredangle BAC $
AA'B isoscele su base BA' ===> $ \measuredangle ABA'=\measuredangle BA'A $
ABB' isoscele su base AB' ===> $ \measuredangle BAB'=\measuredangle AB'B $
AA'C isoscele su base AC ===> $ \measuredangle A'AC=\measuredangle A'CA $
BB'C isoscele su base BC ===> $ \measuredangle CBB'=\measuredangle B'CB $
Ora, con un po' più di lavoro vediamo che ci si può ridurre a due sole catene di uguaglianze :
$ \measuredangle ABC=\measuredangle BAC=\measuredangle BA'A=\measuredangle AB'B $
$ \measuredangle A'AC=\measuredangle A'CA=\measuredangle CBB'=\measuredangle B'CB $
Non mi pare che ci sia altro da ricavare "ovviamente" dalle ipotesi; o meglio, ci sono altre osservazioni da fare, ma queste non riguardano gli angoli del problema. Ci si può aspettare, con ragione in questo caso, che non si debba andare al di là degli angoli per calcolare gli angoli. Questo modo di ragionare non è sempre efficiente, anzi in molti casi è controproducente, ma per ora siamo sul semplice.
Lo scrivere osservazioni varie e banali che seguono senza sforzo dalle ipotesi è un'altra cosa che mi è sempre molto utile nei problemi di geometria; questa pratica, da condurre con un poco di ordine e di metodo, senza mischiarla con altre parti della dimostrazioni in fieri provenienti invece da buone idee e non da prove random, può dare un'idea delle possibilità che si hanno davanti e delle strade che si possono imboccare.
3)"Per comodità di notazione". Questa sarebbe la giustificazione elegante del porre $ \alpha=\measuredangle BCA \ \ \beta=\measuredangle BB'A $; in realtà non è sempre vero che è comodo chiamare ogni grandezza con una lettera. Nel nostro caso, ne abbiamo solo 2 e quindi la cosa non incasinerà troppo; ma avendo 5 o 6 grandezze da nominare, dare a tutte un secondo nome è solo una perdita di tempo.
Ora cerchiamo di legare queste due grandezze; per far ciò dobbiamo ancora ricordarci che non sono alfa e beta, ma degli angoli sulla figura. Questa parte necessita di pratica oppure di c**o; vediamo ad esempio che
nel triangolo ABC possiamo scrivere $ \alpha+2\beta=\pi $
nel triangolo ABA' possiamo scrivere $ \measuredangle BAA'=\pi -2\beta $
nel triangolo AA'C possiamo scrivere $ \measuredangle AA'C=\pi-2\alpha $
nel triangolo ABB' possiamo scrivere ... un momento, ma è quella di prima, a meno di simmetria!!
nel triangolo BB'C possiamo scrivere ... ancora?? già vista, ancora a meno di simmetria.
Nel nostro caso, penso che anche il lattaio del paese si accorgerebbe che la figura è simmetrica, ma, per far le cose in generale, ecco che ne abbiamo una conferma.
Quando si tenta di trovare legami tra le varie parti del problema, le simmetrie giocano un duplice ruolo : il loro uso può aiutare a ricavare uguaglianze e altre relazioni, ma nel contempo la simmetria tra due relazioni può suggerire una più generale simmetria tra gli elementi del problema.
Le relazioni ottenute sono assai antipatiche in quanto non contengono solo alfa e beta, ma anche altra robaccia; del resto finora abbiamo solo usato il fatto che la somma degli angoli interni di un triangolo faccia 180°...proviamo ad uscire un poco : usiamo gli angoli esterni.
E' noto che un angolo esterno è pari alla somma dei due interni non adiacenti. Quindi troviamo :
$ \measuredangle BB'C=\measuredangle ABB'+\beta $
sfruttando il triangolo ABB'.
Oppure
$ \beta=2\alpha $
sfruttando il triangolo AA'C.
Quest'ultima è proprio interessante : lega le due grandezze con le quali avevamo descritto il triangolo.
4) Una rapida verifica ci permette di notare che, conoscendo alfa e beta, potremmo conoscere l'angolo voluto, basterebbe applicare una delle strade suggerite al punto 1).
A questo punto, allora, non è reato tradurre il nostro problema in termini di algebra ed equazioni.
Questo passaggio da geometria ad equazioni è da farsi con attenzione in quanto non sempre quello che vien fuori si presta ad una facile soluzione; del resto è indispensabile sapere tradurre correttamente il problema, in quanto molte volte è la strada più veloce ed elegante.
Nel nostro caso non ci sono molti dubbi :
$ \left\{\begin{array}{rcl}\alpha+2\beta&=&\pi\\ 2\alpha&=&\beta\end{array} \right. $
sfruttando la prima e l'ultima delle relazioni trovate. Quelle intermedie serviranno poi per calcolare l'angolo incognito.
Il sistema ha come soluzione $ \alpha=\pi/5=36^\circ\ \ \beta=2\pi/5=72^\circ $.
Ora, A'C'B' poteva essere calcolato ad esempio come angolo del quadrilatero A'B'C'C; l'angolo in C è alfa, gli angoli in A', B' li conosciamo perchè supplementari di beta : $ \measuredangle AA'C=\measuredangle BB'C=\pi- 2\alpha=108^\circ $.
Quindi $ \measuredangle A'C'B'=2\pi-\alpha-2\measuredangle AA'C=360^\circ-36^\circ-2\cdot 108^\circ=108^\circ $.
Ed ecco la nostra risposta!!
5) Ora scriviamo una soluzione decente :
Poniamo $ x=\measuredangle BCA $.
Osserviamo che, per il teorema sull'angolo esterno, $ \measuredangle BA'A=\measuredangle A'AC + \measuredangle ACB $.
Per ipotesi, AA'C è isoscele su base AC, quindi $ \measuredangle CAA'=\measuredangle ACA'=x $ e dunque $ \measuredangle BA'A=2x $.
Ancora per ipotesi, BA'A è isoscele su base A'B, quindi $ \measuredangle BA'A=\measuredangle ABA'=2x $.
Dunque, sommando gli angoli interni del triangolo ABC, otteniamo $ 5x=\pi $ da cui $ x=36^\circ $.
Ora, $ \measuredangle AA'C=\pi-\measuredangle BA'A=\pi-2x=108^\circ $; infine, sommando gli angoli interni di CA'B'C', otteniamo $ 2\pi=36^\circ+2\cdot 108^\circ+\measuredangle A'C'B' $, da cui il valore cercato è 108°.
Fine del Problema 1.
Esercizio 1 : abbiamo dovuto assumere arbitrariamente su quale base fossero isosceli i triangoli del testo; quali altre configurazioni ci sono? il risultato è sempre lo stesso?
Ecco, a questo punto dovrei aver dato l'idea di cosa intendevo con "andar per angoli"...è proprio un po' come cercar funghi.
In questa risoluzione abbiamo usato più volte alcuni fatti :
*)teorema dell'angolo esterno
*)somma degli angoli interni di un poligono
Spero ovviamente che tutti voi ne conosciate gli enunciati, ma per sicurezza :
Teorema dell'angolo esterno
In un triangolo qualsiasi, un angolo esterno è pari alla somma dei due interni non adiacenti.
Angoli interni
In un generico poligono semplice di n lati la somma degli angoli interni è $ \pi(n-2)[/pi] $.
Ecco, ora...chi me li dimostra?
Domani posterò la risoluzione di un altro problema, un poco più difficile di questo e quindi un po' meno romanzata; nel frattempo, fate pure tutte le domande che volete, basta che l'argomento siano gli angoli e teoremi ad essi legati, anche non inerenti al problema trattato (che spero non possa lasciare dubbi).
Ah, un 'ultima cosa : provate a elencare (qui sul forum o anche solo a mente) tutti i teoremi che vi vengono in mente e che hanno come argomento gli angoli.
Buon Lavoro e Buona Notte.