Una sommatoria è una somma. Una somma estesa a tutti e soli gli elementi di un certo insieme $ S $. Nei problemi di livello olimpico o preolimpico (gare di febbraio, Cesenatico, etc), $ S $ è sempre (o forse in genere) un sottoinsieme finito dei numeri reali. Ora, dacché $ S $ è finito (cioè possiede un numero finito di elementi), questi possono essere enumerati contrassegnando ciascuno, e in modo univoco, a mezzo di un indice. Tipicamente gli indici utilizzati sono degli interi. Se in particolare $ S $ è dotato di $ n $ elementi, dove $ n $ è un intero positivo, allora gli elementi di $ S $ si possono denotare attribuendo loro i "nomi simbolici" $ s_1, s_2, \ldots, s_n $, e scrivere $ s_1 + s_2 + \ldots + s_n $ per indicarne la somma. Del resto, questa stessa somma (soprattutto se vuoi sboroneggiarti) si scrive più compattamente utilizzando una notazione del tipo $ \displaystyle\sum_{k=1}^n s_k $ oppure $ \sum_{k=1}^n s_k $, dove $ \displaystyle\sum $ è la lettera greca "sigma maiuscola" (corrispondente alla "esse" dell'alfabeto latino, che è appunto l'iniziale della parola "somma"), $ k $ è una variabile che assume una e una sola volta tutti i valori interi $ 1, 2, \ldots, n $ ed $ s_k $ è l'elemento di $ S $, fra gli $ n $ che questo possiede, corrispondente al generico valore dell'indice $ k $. Un modo alternativo di
scrivere la stessa somma consiste poi nell'usare la notazione $ \displaystyle\sum_{s \in S} s $, oppure $ \sum_{s \in S} s $, dove ancora la sommazione s'intende estesa a tutti gli elementi $ s $ di $ S $, a patto che ciascuno, di nuovo, venga portato in conto una sola volta.
Riassumendo, perciò, le tre scritture $ s_1 + s_2 + \ldots + s_n $, $ \displaystyle\sum_{k=1}^n s_k $ e $ \displaystyle\sum_{s \in S}^n s $ vengono tutte usate, e indifferentemente, per indicare la somma degli elementi di $ S $. In questo senso è permesso scrivere $ s_1 + s_2 + \ldots + s_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n s_k = \displaystyle\sum_{s \in S}^n s $. Penso (al solito!) di aver ciarlato troppo... Spero se non altro di essere stato chiaro!
P.S.: posso pregarti a nome di tutti d'esprimerti in *italiano*, evitando il ricorso ossessivo (e deprecabile) a "k", "x" e abbreviazione d'ogni sorta? Guarda che i post, qui sul forum, non li paghi certo in base al numero di caratteri digitati...
