Inviato: 01 gen 1970, 01:33
Nel triangolo ABC sia M il punto medio del lato BC, e r una retta per che biseca il perimetro del triangolo. Dimostrare che r è parallela alla bisettrice dell\'angolo < BAC.
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<BR>(La prova puo\' essere fatta senza \"scomodare\" Menelao, provando che se r e\' parallela ad AK allora il triangolo e\' diviso in due parti uguali e, per il fatto che al variare di R su AB la differenza delle due parti di perimetro varia in maniera continua e monotona, vale anche il viceversa. Ma a parte che e\' la prima volta che mi capita di riuscire ad applicare questo teorema, in questo modo, sempre che sia corretta, mi pare una prova piu\' diretta e concisa)
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<BR>Senza perdita di generalita\', supponiamo che AB > AC. Sia K il punto in cui la bisettrice di < A interseca BC ed R il punto in cui r interseca AB.
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<BR>Per ipotesi si ha che RA+AC+CM=MB+BR. Percio\', dato che CM=MB, risulta RA+AC=BR.
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<BR>Sia R\' un punto sul prolungamento di CA dalla parte di A tale che R\'A=RA. Per costruzione RR\' e\' parallela ad AK.
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<BR>Dato che BM/MC*CR\'/R\'A*AR/RB=1 per il teorema di Menelao i punti R\', R ed M sono allineati.
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<BR>Cioe\' RM e\' parallela ad AK.
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<BR><font size=1>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: sprmnt21 il 2002-03-25 15:40 ]</font><BR><BR><font size=1>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: sprmnt21 il 2002-03-25 15:42 ]</font>
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<BR>(La prova puo\' essere fatta senza \"scomodare\" Menelao, provando che se r e\' parallela ad AK allora il triangolo e\' diviso in due parti uguali e, per il fatto che al variare di R su AB la differenza delle due parti di perimetro varia in maniera continua e monotona, vale anche il viceversa. Ma a parte che e\' la prima volta che mi capita di riuscire ad applicare questo teorema, in questo modo, sempre che sia corretta, mi pare una prova piu\' diretta e concisa)
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<BR>Senza perdita di generalita\', supponiamo che AB > AC. Sia K il punto in cui la bisettrice di < A interseca BC ed R il punto in cui r interseca AB.
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<BR>Per ipotesi si ha che RA+AC+CM=MB+BR. Percio\', dato che CM=MB, risulta RA+AC=BR.
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<BR>Sia R\' un punto sul prolungamento di CA dalla parte di A tale che R\'A=RA. Per costruzione RR\' e\' parallela ad AK.
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<BR>Dato che BM/MC*CR\'/R\'A*AR/RB=1 per il teorema di Menelao i punti R\', R ed M sono allineati.
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<BR>Cioe\' RM e\' parallela ad AK.
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