Riemann, geometrie e coefficienti.

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t4ilgr4b
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Riemann, geometrie e coefficienti.

Messaggio da t4ilgr4b » 21 mag 2013, 17:56

Non riesco a capire un passaggio del discorso di Riemann "Sulle ipotesi che stanno a fondamento della geometria" in cui spiega le sue ricerche sulle geometrie non euclidee, non capisco le ultime 10 righe di pagina 7 in cui parla dei coefficienti dell'equazione $ y = \sqrt x^2 $
Si può trasformare una tale espressione in un’altra
analoga, sostituendo al posto delle n variabili indipendenti
funzioni di n nuove variabili indipendenti. In questo modo
tuttavia non si può trasformare qualunque espressione in qualunque altra; infatti l’espressione contiene n(n+1)/2 coefficienti, che
sono funzioni arbitrarie delle variabili indipendenti; con
l’introduzione di nuove variabili si possono soddisfare solo n
relazioni e quindi solo n dei coefficienti possono essere resi uguali a delle quantità date. I restanti n(n-1)/2 sono
determinati completamente dalla natura della molteplicità da
rappresentare, e per la determinazione delle relazioni metriche di
questa sono quindi necessarie n(n-1)/2 funzioni della posizione.
Non capisco a cosa si riferiscano gli n(n+1)/2 e n(n-1)/2, a che coefficienti. Grazie in anticipo dell'aiuto sperato!
Ultima modifica di t4ilgr4b il 21 mag 2013, 19:05, modificato 1 volta in totale.

EvaristeG
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Re: Riemann, geometrie e coefficienti.

Messaggio da EvaristeG » 21 mag 2013, 18:52

Non sta parlando di un'equazione. Sta parlando della metrica, che è un 2-tensore simmetrico, quindi, fissato un frame, è rappresentato da una matrice simmetrica. Lo spazio delle matrici simmetriche $n\times n$ ha dimensione $n(n+1)/2$ e dunque con $n$ "scelte" tu imponi $n$ relazioni, lasciando libere $n(n-1)/2 = n(n+1)/2 - n$ dimensioni. Tali altre componenti del tensore metrico sono però determinate, una volta che fissi le coordinate (che sono $n$) e dunque il fatto che si annullino o meno è una proprietà speciale della varietà.

Questa è la risposta ufficiale.

Quella ufficiosa è che leggere Riemann senza sapere cosa sia la geometria riemanniana non è una mossa geniale.

t4ilgr4b
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Re: Riemann, geometrie e coefficienti.

Messaggio da t4ilgr4b » 21 mag 2013, 19:08

Ricevuto.
Hai ragione, ciò è frutto del programma di fisica nei PNI in cui si fanno argomenti di cui non si hanno le basi matematiche e diventa improbabile approfondire le cose.
Grazie della risposta!

EvaristeG
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Re: Riemann, geometrie e coefficienti.

Messaggio da EvaristeG » 21 mag 2013, 21:43

Hm relatività eh? Capisco ... effettivamente non è qualcosa che si possa così facilmente spiegare per intero alle superiori.

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