il conflitto tra le armoniche 3/2, 2, 3 e 4

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fph
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Messaggio da fph » 02 dic 2009, 23:26

Toh. Codice MATLAB/Octave e frequenze (a sinistra dell'FPH, a destra dell'equabile). Nota che il residuo (cioè il valore di $ \left\Vert Ax-b\right\Vert_2 $) dell'equabile è già sufficientemente piccolo: 0.010100 contro lo 0.00857 (ottimale) dell'FPH. Stiamo lavorando su modifiche delle frequenze attorno all'uno per mille.

Avrei messo anche il CHAS ma non mi è chiaro come si generano le frequenze materialmente; se qualcuno me lo spiega brevemente ce lo aggiungo.

Codice: Seleziona tutto

n=12*7+3; #numero di tasti su un pianoforte
#matrice e termine noto con i vincoli sulle ottave
A=-eye(n)+diag(ones(n-12,1),12);
A=A(1:n-12,:);
a=log(2)*ones(n-12,1);
#matrice e termine noto con i vincoli sulle quinte
B=-eye(n)+diag(ones(n-7,1),7);
B=B(1:n-7,:);
b=log(3/2)*ones(n-7,1);
#tutto insieme
M=[A;B]; m=[a;b];
#una "buona" accordatura è una che rende M*log(acc)-m piccolo
fph=exp(pinv(M)*m);
equabile=(2^(1/12)).^(1:n)';
#normalizziamo in modo che il LA di mezzo sia a 440
fph=fph/fph(49)*440;
equabile=equabile/equabile(49)*440;
#stampa le frequenze una a fianco all'altra
disp(sprintf('frequenze: fph | equabile '));
format long;
[fph equabile]

Codice: Seleziona tutto

 2.74417004e+01 2.75000000e+01
 2.90736624e+01 2.91352351e+01
 3.08085753e+01 3.08677063e+01
 3.26391465e+01 3.27031957e+01
 3.45837835e+01 3.46478289e+01
 3.66343679e+01 3.67080960e+01
 3.88143631e+01 3.88908730e+01
 4.11401716e+01 4.12034446e+01
 4.35861753e+01 4.36535289e+01
 4.61855202e+01 4.62493028e+01
 4.89290334e+01 4.89994295e+01
 5.18432825e+01 5.19130872e+01
 5.49132558e+01 5.50000000e+01
 5.81797674e+01 5.82704702e+01
 6.16536292e+01 6.17354127e+01
 6.53178988e+01 6.54063913e+01
 6.92107842e+01 6.92956577e+01
 7.33198327e+01 7.34161920e+01
 7.76844692e+01 7.77817459e+01
 8.23111417e+01 8.24068892e+01
 8.72055911e+01 8.73070579e+01
 9.24064163e+01 9.24986057e+01
 9.78970591e+01 9.79988590e+01
 1.03729137e+02 1.03826174e+02
 1.09888041e+02 1.10000000e+02
 1.16426377e+02 1.16540940e+02
 1.23365790e+02 1.23470825e+02
 1.30698807e+02 1.30812783e+02
 1.38489222e+02 1.38591315e+02
 1.46716884e+02 1.46832384e+02
 1.55453488e+02 1.55563492e+02
 1.64701088e+02 1.64813778e+02
 1.74495791e+02 1.74614116e+02
 1.84896228e+02 1.84997211e+02
 1.95884308e+02 1.95997718e+02
 2.07556491e+02 2.07652349e+02
 2.19890563e+02 2.20000000e+02
 2.32977723e+02 2.33081881e+02
 2.46850295e+02 2.46941651e+02
 2.61523252e+02 2.61625565e+02
 2.77109670e+02 2.77182631e+02
 2.93577436e+02 2.93664768e+02
 3.11065984e+02 3.11126984e+02
 3.29566578e+02 3.29627557e+02
 3.49167492e+02 3.49228231e+02
 3.69967567e+02 3.69994423e+02
 3.91953589e+02 3.91995436e+02
 4.15313472e+02 4.15304698e+02
 4.40000000e+02 4.40000000e+02
 4.66199635e+02 4.66163762e+02
 4.93946299e+02 4.93883301e+02
 5.23299123e+02 5.23251131e+02
 5.54481014e+02 5.54365262e+02
 5.87432912e+02 5.87329536e+02
 6.22445555e+02 6.22253967e+02
 6.59462128e+02 6.59255114e+02
 6.98692136e+02 6.98456463e+02
 7.40297415e+02 7.39988845e+02
 7.84278576e+02 7.83990872e+02
 8.31026176e+02 8.30609395e+02
 8.80423413e+02 8.80000000e+02
 9.32899676e+02 9.32327523e+02
 9.88407193e+02 9.87766603e+02
 1.04709374e+03 1.04650226e+03
 1.10947285e+03 1.10873052e+03
 1.17539597e+03 1.17465907e+03
 1.24549502e+03 1.24450793e+03
 1.31955562e+03 1.31851023e+03
 1.39814471e+03 1.39691293e+03
 1.48137449e+03 1.47997769e+03
 1.56932378e+03 1.56798174e+03
 1.66285400e+03 1.66121879e+03
 1.76168266e+03 1.76000000e+03
 1.86687116e+03 1.86465505e+03
 1.97792187e+03 1.97553321e+03
 2.09504731e+03 2.09300452e+03
 2.21982987e+03 2.21746105e+03
 2.35169225e+03 2.34931814e+03
 2.49193991e+03 2.48901587e+03
 2.64009909e+03 2.63702046e+03
 2.79829736e+03 2.79382585e+03
 2.96481517e+03 2.95995538e+03
 3.14060865e+03 3.13596349e+03
 3.32772579e+03 3.32243758e+03
 3.52545123e+03 3.52000000e+03
 3.73582550e+03 3.72931009e+03
 3.95799560e+03 3.95106641e+03
I conti qui sono fatti minimizzando solo sul "rapporto" tra le ottave e le quinte. Se volete che ci aggiunga anche le terze o altra roba si può fare. Anche se in teoria la cosa migliore sarebbe stabilire, per ogni singolo pezzo da suonare, quali esattamente sono le note che serve "suonino bene" senza battimenti (esempio, DO,MI,SOL se suono un accordo di do maggiore, eccetera) e minimizzare solo su quelle, creando un'accordatura ottimale per ogni pezzo. Anzi, pesando sul tempo per cui questi accordi vengono suonati. Ok, sto delirando -- meglio se vado a dormire.
--federico
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SkZ
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Messaggio da SkZ » 03 dic 2009, 01:05

fph ha scritto:[...]
Il problema di trovare delle "soluzioni" approssimate di un sistema lineare con più equazioni che incognite (e quel sistema è lineare nei $ \log a_k $) è un problema ben studiato. Esistono tecniche standard per la sua soluzione (es: minimi quadrati via decomposizione SVD, matrice aumentata, pseudoinversa di Moore-Penrose).
dovrebbe essere il sistemausato anche dalla HP48 per risolvere tali sistemi. almeno e' scritto che opera dei minimi quadrati


Mi ca tanto deliri i tuoi: penso che a livello professionale sia interessante un'accordatura apposita per ogni pezzo. Solo che su strumenti "classici" la vedo dura da applicare tipo in un concerto.
impara il [tex]~\LaTeX[/tex] e mettilo da par[tex]\TeX~[/tex]

Software is like sex: it's better when it's free (Linus T.)
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alfredo capurso
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Messaggio da alfredo capurso » 04 dic 2009, 11:40

Nonno Bassotto, grazie della partecipazione, spero tu possa accettare la mia schiettezza. Dici "flame" intendendo fiamma, splendore o persona amata? In tutti i casi puoi vedere che ora si sta parlando di matematica e frequenze, forse mancava proprio un po' di lubrificante. Circa il fattore quantità, ho trovato interessante: René Guénon, Il Regno della Quantità e i Segni dei Tempi.

Fph, grazie della partecipazione, spero tu possa accettare la mia matematica liceale, al di la (e/o al di qua) dei fattori studio, forma, intelletto e genio.

Non desidero difendere l'articolo sul sistema Chas pubblicato quest'anno, penso si possa certamente migliorare e spero di poterlo fare. Ogni correzione sarà solo gradita. Questa è una spiega in sintesi ma, insieme ai numeri, è l’impianto che da rigore al modello e di questo si può leggere nelle sezioni 2.0 e 3.0.

Come il tradizionale equabile, Il modello Chas trova un'unica ragione incrementale per la progressione esponenziale delle frequenze in scala.

Diversamente dal tradizionale equabile, nonché dagli equabili degli anni '80, il modello Chas si basa su una eguale differenza ∆ sui valori parziali “puri” 3 e 4 relativi agli intervalli di ottava+quinta (occhio, la si chiama dodicesima o duodecima) e doppia ottava. Nel caso più semplice, l’algoritmo Chas traduce ciò a cui sono giunto, ricercando un’accordatura ottimale che restituisse la più coerente progressione dei battimenti ed il massimo grado di eufonicità.

CHAS Tuning MP3
http://www.box.net/shared/od0d7506cv

Negli anni, ho potuto concludere che non vi è ragione di riferire la scala ad un intervallo puro (2:1, 3:1 ecc.) e dedurre che la “costante” di scala avrebbe dovuto determinare contemporaneamente l’andamento di due intervalli. Così ho potuto quadrare un risultato empirico, il risultato della mia accordatura, con qualche deduzione logica.

Come 3^(1/19) procura la ragione esponenziale per l’ottava+quinta “pura”, 4^(1/24) procura la ragione esponenziale per la doppia ottava “pura”.

Con un fattore differenza = ∆ è possibile tradurre quanto dedotto ed osservato nella pratica:

(3 - ∆)^(1/19) = (4 + ∆)^(1/24)

Così possiamo ottenere il valore ∆ e la ragione incrementale della scala equabile Chas:

(3 – 0.002125389965...)^(1/19) = (4 + 0.002125389965...)^(1/24) =

= 1.0594865443501...

La differenza millesimale ∆ garantisce la proporzione lineare 1:1 e fa si che:

(x^19) + (x^24) = 7

dove x è la ragione incrementale di scala e 7 è il medio aritmetico di 1 e 13, quante sono le note contenute in un’ottava tradizionale, ma anche di 2 e 12, 3 e 11, 4 e 10, 5 e 9, 6 e 8, nonché il medio geometrico tra 1 e 49, quante sono le note del modulo Chas in cui troviamo le simmetrie descritte nell’articolo pubblicato, sezioni 3.4 e 3.5.

http://math.unipa.it/~grim/Quaderno19_C ... 9_engl.pdf

Per secoli si è cercato il modo di combinare in scala (tradizionale) i valori 2, 3 e 5 relativi ai rapporti 2:1, 3:2 e 5:4, il modello Chas raggiunge questo obbiettivo. Per secoli si è "clonato" il modulo di ottava (tradizionale), oggi è possibile disegnare un insieme infinito e intermodulare.

Successivamente ho dedotto che, al posto di un fondamento teorico del tutto arbitrario, cioè al posto di un qualche intervallo puro, è possibile introdurre una variabile discrezionale “s” che modificherà l’incognita ∆, tranne ovviamente nel caso s = 1 e tradurrà il desiderio di poter disegnare infinite curve relative ad una scala esponenziale, come di fatto può avvenire nella pratica di accordatura:

(3 - ∆)^(1/19) = (4 + (∆*s))^(1/24)

Per esempio, imponendo s = 0 per ∆ = 0.0033858462466374...,si ottiene la ragione incrementale 1.0594630943593 = 2^(1/12) ovvero la ragione del nostro tradizionale temperamento equabile. Se la ragione di ottava pura 2:1 era un dogma, ora è più correttamente descritta come una di “s” infinite possibilità.

Poi ho osservato che, se s è una frazione s/s1, il denominatore riporta la differenza sul parziale 3, così che:

(3 - ∆)^(1/19) = (4 + (∆*s/s1))^(1/24) non mofifica il risultato di

(3 – (∆*s1))^(1/19) = (4 + (∆*s))^(1/24) ma modifica solo il valore dell’incognita ∆ che rende vera l’equazione. Così, giusto per fare un esempio:

imponendo s = 9/8 (scrivo otto per evitare che appaia un emoticon):

= (3 - 0.0020308881064)^(1/19) = (4+ (0,0020308881064*(9/otto)))^(1/24) =

= (3 - (0,0002538610133*otto))^(1/19) = (4+(0,0002538610133*9))^(1/24) =

= 1.0594883021209...

Ho prodotto un’analogia per meglio condividere l'algoritmo Chas

(3 – (∆*s1))^(1/19) = (4 + (∆*s))^(1/24)

e se leggete l’inglese la posso postare in battuta.

Fph, la scala che hai postato ha una ragione incrementale differente per ogni semitono, mi sembra si stia parlando di due cose diverse, comunque la variabile discrezionale s può determinare di tutto, anche la ragione semitono per semitono.

E' così? a.c.
Ultima modifica di alfredo capurso il 04 dic 2009, 13:03, modificato 2 volte in totale.

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Messaggio da Nonno Bassotto » 04 dic 2009, 12:50

alfredo capurso ha scritto:Dici "flame" intendendo fiamma, splendore o persona amata?
Dico flame intendendo thread di un forum che degenera in rissa. :)
alfredo capurso ha scritto:occhio, la si chiama dodicesima o duodecima)
Scusa, errore mio.
alfredo capurso ha scritto:Come il tradizionale equabile, Il modello Chas trova un'unica ragione incrementale per la progressione esponenziale delle frequenze in scala.
Prendo questa ad esempio come una delle tante frasi che noi matematici troviamo fumose. La stessa cosa si potrebbe dire, con più chiarezza e sintesi, "le frequenze del Chas sono in progressione geometrica".

Per farti un altro esempio in cui non si capisce bene cosa vuoi intendere
alfredo capurso ha scritto:x è la ragione incrementale di scala e 7 è il medio aritmetico di 1 e 13, quante sono le note contenute in un’ottava tradizionale, ma anche di 2 e 12, 3 e 11, 4 e 10, 5 e 9, 6 e 8, nonché il medio geometrico tra 1 e 49, quante sono le note del modulo Chas
7 è anche 20-13, la media aritmetica di 1, 2 e 18, il quarto numero primo e il numero di re di Roma, ma non si capisce questo cosa c'entri con le frequenze della scala.

Infine il passaggio che ti contestavo lo riporti qui:
alfredo capurso ha scritto:(3 - ∆)^(1/19) = (4 + (∆*s/s1))^(1/24) non mofifica il risultato di

(3 – (∆*s1))^(1/19) = (4 + (∆*s))^(1/24) ma modifica solo il valore dell’incognita ∆ che rende vera l’equazione.
La frase che hai detto non ha senso. Le due equazioni non sono equivalenti. Certo, se cambi equazione puoi trovare un'altra soluzione della nuova equazione, ma questo è vero per due equazioni a caso.

Spero di averti spiegato un po' cosa troviamo difficile da seguire in quello che scrivi. Tu hai invece provato a seguire quello che dice fph? La progressione non è esponenziale, ma l'approssimazione è migliore del Chas.
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Messaggio da fph » 04 dic 2009, 13:42

Nonno Bassotto ha scritto:"le frequenze del Chas sono in progressione geometrica".
Ah-ah. Ora capisco tutto. Ogni nota si ottiene dalla precedente moltiplicando la frequenza per $ \Delta $, e il LA è normalizzato a 440, giusto?
Nonno Bassotto ha scritto:Tu hai invece provato a seguire quello che dice fph? La progressione non è esponenziale, ma l'approssimazione è migliore del Chas.
Momento. Dipende da cosa si intende per "approssimazione", non pretendo di avere la Risposta Definitiva.
La domanda che bisogna farsi per formalizzare il problema è "cosa vuoi minimizzare". Un modo in cui spesso vengono affrontati questi problemi è riconducendoli a un sistema lineare e minimizzando il residuo $ \left\Vert Ax-b\right\Vert_2 $, che è quello che ho fatto io. Però la scelta è opinabile.
L'accordatura "tradizionale" e la CHAS partono dall'idea che avere le frequenze in progressione geometrica è un requisito imprescindibile, e minimizzano l'una l'errore sull'"ottava", l'altra max(errore_tredicesima,errore_doppia_ottava) (credo... dovrebbe dimostrarsi che imporre che i due errori siano uguali equivale a minimizzare quel massimo).
Uno però potrebbe fare altre scelte, per esempio cercando di privilegiare i tasti che uno preme più spesso (in fondo, quante volte ci interessa che la frequenza del Mi bemolle-3 sia esattamente la metà del Mi bemolle-4?). Si può minimizzare la norma-infinito, la norma-1, qualcos'altro, imporre qualche altro prerequisito.

In ogni caso, se il problema sono i battimenti non dovrebbe cambiare nulla, perché per tutte le accordature qui viste le frequenze dei battimenti sulle ottave e sulle quinte dovrebbero essere sopra la soglia dell'udibile (facendo un calcolo a spanne). E' un problema di "cosa mi suona meglio", e questo non è matematizzabile. :)
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Messaggio da alfredo capurso » 04 dic 2009, 13:49

Nonno Bassotto, grazie per la sintesi.

Come si dirà che

(3 - 0.0020308881064)^(1/19) = (4+ (0,0020308881064*(9/otto)))^(1/24) =

= (3 - (0,0002538610133*otto))^(1/19) = (4+(0,0002538610133*9))^(1/24) =

= 1.0594883021209...

E' forse semplicemente superfluo?
Tu hai invece provato a seguire quello che dice fph? La progressione non è esponenziale, ma l'approssimazione è migliore del Chas.

Si, ho provato ma, ahimè, non capisco il codice e non capisco la modalità del confronto e se il confronto è fatto sul piano numerico o pratico, o su entrambi. Né capisco su cosa e come migliori l'approssimazione. Sono davvero interessato, ti/vi andrebbe di dirmelo? a.c.

P.S. Mentre scrivevo, Fph ha risposto. Restano comunque valide le mie domande, Nonno Bassotto. Poi scriverò su quanto postato da Fph.

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Messaggio da Nonno Bassotto » 05 dic 2009, 03:00

Capire il codice non è così importante. Il confronto è fatto sul piano numerico, perché non abbiamo modo di testare musicalmente il risultato di suonare con queste frequenze. L'approssimazione migliora nel senso che la somma di (i quadrati di) tutti gli errori fatti su tutte le quinte e su tutte le ottave è più piccola possibile. L'errore è misurato in scala logaritmica.

In sostanza quello che fa fph è non misurare l'errore su due intervalli fissati (dodicesima e due ottave) ma considerare tutte le quinte e tutte le ottave insieme, e renderlo più piccolo possibile. Come osserva fph esistono diversi modi di "sommare" gli errori, e lui ne ha scelto uno con cui è facile fare i conti.
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Messaggio da Nonno Bassotto » 05 dic 2009, 03:02

fph ha scritto:Ogni nota si ottiene dalla precedente moltiplicando la frequenza per $ \Delta $, e il LA è normalizzato a 440, giusto?
Se non ho capito male sì (ma la ragione della progressione geometrica è k).
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Messaggio da EvaristeG » 05 dic 2009, 13:32

Allora... no. Nel Temperamento Equabile di Werckmeister (quello tradizionale, insomma), la frequenza del Mib-4 è esattamente il doppio della frequenza del Mib-3 e così per ogni altra nota.
Il TE tradizionale si basa sull'idea di rendere il più vicino possibile l'intervallo di quinta (il rapporto tra le frequenze di due suoni qualsiasi a distanza di V) a quello della quinta "naturale", ovvero 3/2.
Come si fa? Si sviluppa in frazione continua $ \log 3/2 $ e si prende un'approssimante. Il denominatore da il numero di "divisioni" dell'ottava, ovvero di tasti in un'ottava. La terza approssimante da 5 divisioni, ovvero il sistema pentatonico cinese, la quarta approssimante da 12 divisioni, ovvero la nostra scala.
La sesta approssimante, mi pare, da 53 divisioni, da cui Il Ciclo dei 53, un'accordatura usata anche questa in Cina.
Perché il logaritmo? perché l'orecchio percepisce gli intervalli come uguali se i rapporti tra le frequenze sono le stesse.
Perché si tiene fissa l'ottava? (scegliendo quindi un fattore moltiplicativo da un tasto al successivo, che implica che l'intervallo tra due tasti equidistanti è sempre quello indipendentemente dalla posizione sulla tastiera) Perché l'ottava è il secondo armonico.
Perché si cerca la migliore approssimazione della quinta? Perché la quinta è il terzo armonico.
Gli armonici superiori sono molto deboli negli strumenti ad accordatura fissa o comunque preimpostata (a parte che nel violino e nella viola, che infatti si sono sviluppati in periodo di "accordatura media" rinascimentale, in cui anche la IV era considerata al pari della V), mentre hanno inaspettata preponderanza negli strumenti a fiato, che però di solito usano la scala naturale delle frequenze armoniche (la quinta è 3/2, la quarta è 5/4, la seconda è 9/8 e così via).
Sotto questi presupposti è nato il temperamento equabile tradizionale.

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Nonno Bassotto
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Messaggio da Nonno Bassotto » 05 dic 2009, 15:52

EvaristeG ha scritto:Allora... no.
Grazie per il chiarimento, ma... no cosa?
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EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 05 dic 2009, 21:58

non mi riferivo al tuo messaggio, ho postato in fretta e non mi ero accorto che c'eri anche tu sotto a fph.
"No" a quello che ha detto fph: il sistema tradizionale non si basa sul minimizzare l'errore dell'ottava, ma lo pone a 0 e punta a minimizzare quello della 5°.

Inoltre, mi pare di aver spiegato perché è stato scelto di costruire scale in cui i suoni si susseguono con frequenze in progressione aritmetica, perché si fissa l'ottava, perché si approssima la quinta, come la si approssima e perché ne deriva la divisione in 12 semitoni, cose su cui nei precedenti post c'era un po' di confusione.

alfredo capurso
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Messaggio da alfredo capurso » 06 dic 2009, 00:25

Nonno Bassotto,

tu scrivi: "La progressione non è esponenziale, ma l'approssimazione è migliore del Chas."...

Poi scrivi: "In sostanza quello che fa fph è non misurare l'errore su due intervalli fissati (dodicesima e due ottave) ma considerare tutte le quinte e tutte le ottave insieme, e renderlo più piccolo possibile. Come osserva fph esistono diversi modi di "sommare" gli errori, e lui ne ha scelto uno con cui è facile fare i conti."

Dicendo "tutte le quinte e tutte le ottave" è come dire "su due intervalli fissati" (come propone il Chas). Essendo per altro vero che "esistono diversi modi di "sommare" gli errori", e che dipenderà anche su COSA sommare gli errori, non capisco quella tua affermazione.

Fph, scrivi: "Momento. Dipende da cosa si intende per "approssimazione", non pretendo di avere la Risposta Definitiva."

Nel caso della progressione geometrica e della divisione (tradizionale) in semitoni (ma anche non tradizionale), il modello Chas rappresenta la risposta non definitiva, ma forse meglio definente.

... "dovrebbe dimostrarsi che imporre che i due errori siano uguali equivale a minimizzare quel massimo)."...

Saresti tu in grado di dimostrarlo? Forse taglierebbe la testa al toro.

..."Uno però potrebbe fare altre scelte, per esempio cercando di privilegiare i tasti che uno preme più spesso...imporre qualche altro prerequisito."

Beh, sicuro, ma non si sta parlando di una fiera delle stravaganze. Si parla di una progressione geometrica che migliora 2^(1/12) dacché combina tutti i valori parziali. A proposito, ma forse hai capito tutto, le frequenze Chas si moltiplicano per 1.0594865443501..., risultante dall'algoritmo

(3 – (∆*s1))^(1/19) = (4 + (∆*s))^(1/24) con s=1, s1 =1

dove ∆ è l'incognita, s ed s1 sono variabili discrezionali.

Poi scrivi:..."se il problema sono i battimenti non dovrebbe cambiare nulla, perché per tutte le accordature qui viste le frequenze dei battimenti sulle ottave e sulle quinte dovrebbero essere sopra la soglia dell'udibile (facendo un calcolo a spanne). E' un problema di "cosa mi suona meglio", e questo non è matematizzabile."...

Non conviene fare calcoli a spanne, risulta impreciso dire "se il problema sono i battimenti non dovrebbe cambiare nulla", quindi errato definire il problema "cosa mi suona meglio". In effetti su questo errore si potrebbe concludere che la questione non sia trattabile numericamente. Invece, la questione "progressione geometrica" in oggetto, insieme alla combinazione dei numeri primi in scala, risulta trattata 300 anni fa e migliorata oggi.

EvaristeG, grazie del tuo intervento. Più che sui presupposti del primo T. equabile 2^(1/12), preferisco riferire sulla questione dei parziali (che tu chiami armonici).

Sembra essere vero (di massima) che "Gli armonici superiori sono molto deboli...", è anche vero comunque che (per esempio) suonando una terza, i battimenti saranno causati dal quinto parziale della nota bassa e dal quarto parziale della nota alta. Così (per esempio), suonando una doppia ottava+quinta, il battimento è causato dal sesto parziale della nota bassa e dal primo parziale della nota alta.

Ti risulta? a.c.

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Messaggio da EvaristeG » 06 dic 2009, 03:30

Ecco svelato un altro arcano, dunque... i suoni armonici si chiamano così da centinaia di anni, se tu li chiami parziali, non puoi pretendere che la gente capisca cosa stai dicendo.

Tolto ciò, sì, i battimenti ci sono. Noto, tra il resto, che con il tuo sistema di accordatura, ci sono battimenti (notevoli) sulle doppie ottave: se suoni una doppia ottava a partire dal La sopra al Do centrale (quindi a 880Hz) trovi un battimento tra il 4° armonico della nota bassa e la frequenza fondamentale di quella alta; battimento che ha una frequenza di circa 1.8Hz, quindi il volume del suono viene percepito variabile con un ciclo di circa mezzo secondo.

Una cosa del genere si nota, soprattutto se è ripetuta (mi vengono in mente un sacco di pezzi a quattro mani, sul pianoforte, in cui si trovano spesso due note a distanza di doppia ottava, una affidata ad un esecutore, l'altra all'altro), in quanto l'ottava a frequenza naturale è praticamente l'unico punto fisso di tutte le accordature stabilite a tavolino da Pitagora ad oggi e dunque l'orecchio umano è abituato a sentirla, almeno nella zona di frequenze centrali (tra 300 e 4000 Hz, più o meno).

Del resto, diminuire la distanza tra i due suoni che producono il battimento serve solo a diminuire la frequenza apparente del battimento, il che non lo rende necessariamente meno percepibile...

alfredo capurso
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Messaggio da alfredo capurso » 06 dic 2009, 13:43

EvaristeG,

scrivi:...“Ecco svelato un altro arcano, dunque... i suoni armonici si chiamano così da centinaia di anni, se tu li chiami parziali, non puoi pretendere che la gente capisca cosa stai dicendo.”...

Eviterei una deriva terminologica, più importante è che noi ci si intenda. Per inciso, oggi (forse dall’ottocento) si parla di parziali armoniche, se multipli interi del suono fondamentale e di parziali non-armoniche o parziali inarmonici. Si parla anche di ipertoni, riferendosi ai multipli (esatti e non) della fondamentale. Basta verificare in rete, si vedrà che l’utilizzo di questi termini (a volte casuale) dipende anche dall’ambito (musica - fisica del suono – astrofisica – psico-acustica).

...“Tolto ciò, sì, i battimenti ci sono.”...

Bene. Ne approfitto per fare una precisazione. Nel modello Chas, i battimenti, ossia le differenze tra (parziali o armonici – come preferisci) multipli interi di frequenze in scala, rappresentano il punto di forza del sistema, la chiave per ottenere un ente geometrico “sincronico”, reso “ottimo” e stabile proprio dalle simmetrie delle differenze, come descritto nelle sezioni 3.4 e 3.5.

http://math.unipa.it/~grim/Quaderno19_C ... 9_engl.pdf

...“Noto, tra il resto, che con il tuo sistema di accordatura, ci sono battimenti (notevoli) sulle doppie ottave: se suoni una doppia ottava a partire dal La sopra al Do centrale (quindi a 880Hz) trovi un battimento tra il 4° armonico della nota bassa e la frequenza fondamentale di quella alta; battimento che ha una frequenza di circa 1.8Hz, quindi il volume del suono viene percepito variabile con un ciclo di circa mezzo secondo.”...

Il La sopra il Do centrale (Do4) è il La4 = 440.00Hz

...“Una cosa del genere si nota,….in quanto l'ottava a frequenza naturale è praticamente l'unico punto fisso di tutte le accordature stabilite a tavolino da Pitagora ad oggi e dunque l'orecchio umano è abituato a sentirla, almeno nella zona di frequenze centrali (tra 300 e 4000 Hz, più o meno).”...

Tocchi (a ragione) due questioni fondamentali. Purtroppo quell’unico punto fisso – l’ottava a frequenza “naturale”, ossia “pura”, ossia in ragione 2:1 - da Pitagora ad oggi ha solo offuscato l’orizzonte e imposto un presupposto teorico - “stabilito a tavolino” - semplicemente errato. Errato in quanto molte questioni percettive restano da provare (alcune lo sono già state) tant’è che, ascoltando un’orchestra, ci si accorge che l’orecchio può “aggiustare” parecchio e auto-educarsi. Errato perché anche il parziale 2 può concorrere a determinare un insieme eufonico e risonante, un insieme “ottimo” in quanto sono “compromessi” tutti i valori parziali (armonici, se preferisci).

Ciononostante, il modello Chas descrive 2^(1/12) come una (s = 0) di s infinite curve:

(3 - ∆)^(1/19) = (4 + (∆*s))^(1/24)

s = 0

(3 - ∆)^(1/19) = (4 + (∆*0))^(1/24)

∆ = 0.0033858462466374...

(3 - 0.0033858462466374...)^(1/19) = (4 + (0.0033858462466374...*0))^(1/24) =

= 1.0594630943593... = 2^(1/12)

Rispetto all’ente geometrico Chas, l’attributo arbitrario è imposto da un valore discrezionale “s” che lascia spazio a qualsivoglia urgenza. Non ti pare?

Buona Domenica, a.c.

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Tibor Gallai
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Messaggio da Tibor Gallai » 06 dic 2009, 13:58

Alfredo, un problema te lo risolvo io:

Codice: Seleziona tutto

[tex]$2^{\frac 1 {12}}[/tex]
$ $2^{\frac 1 {12}} $

Niente applausi, grazie (generano battimenti...).
[quote="Pigkappa"]Penso che faresti un favore al mondo se aprissi un bel topic di bestemmie da qualche parte in modo che ti bannino subito.[/quote]

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