Problema 9 Semifinale Online 1/7/2020

Rette, triangoli, cerchi, poliedri, ...
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fbanelli
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Problema 9 Semifinale Online 1/7/2020

Messaggio da fbanelli » 07 set 2020, 14:48

Martedì scorso c'è stata la semifinale online delle olimpiadi a squadre e il problema 9 mi ha dato problemi: sono abbastanza convinto di averlo risolto in modo giusto ma il risultato non è giusto. Il problema è il seguente:
Da una grotta si è staccata una stalattite che ha la forma di un cono retto con altezza 12 e raggio di base 5. È ora appoggiata di lato sul pavimento, e rotola compiendo una rotazione completa attorno al punto, fisso, in cuiil vertice tocca il pavimento. Tutta l’aria spazzata dalla stalattite ghiaccia formando un blocco solido. Qual è il volume del blocco?
Io ho anche fatto una simulazione su Geogebra e il risultato mi torna uguale a quello calcolato a mano. Non capisco cosa ho fatto di sbagliato. Il solido che io mi sono immaginato è un tronco di cono dal quale viene tolta un cono capovolto che ha come base la base minore del tronco di cono e la stessa altezza del tronco.

fph
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Re: Problema 9 Semifinale Online 1/7/2020

Messaggio da fph » 07 set 2020, 18:56

Ciao! Il problema è che quella figura non è semplicemente il tronco di cono che ottieni ruotando un triangolo isoscele che è una proiezione del cono di partenza. Per rendertene conto, considera per esempio il piede dell'altezza del cono: non può stare sul bordo del solido di rotazione, perché spostandomi di poco sulla base del cono riesco ad ottenere punti che stanno più lontani di lui dall'asse di rotazione.

La domanda successiva è "e allora che figura è", ma prima di dirtelo lascio pensarci a te. :)
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fbanelli
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Re: Problema 9 Semifinale Online 1/7/2020

Messaggio da fbanelli » 10 set 2020, 12:04

Grazie mille per l'aiuto, ora ho realizzato che viene una calotta sferica a due facce e non un tronco di cono. Con questo cambiamento sono arrivato alla risposta giusta. Tuttavia non sono sicuro se la dimostrazione di ciò è giusta; so che non è richiesta per la gara a squadre ma penso sia un esercizio interessante. La mia idea intuitiva è:
-i punti più distanti che spazzano area sono quelli che formano il perimetro della base;
-tutti quei punti sono equidistanti dal vertice di una distanza a=13;
-l'unico luogo geometrico tridimensionale di tutti i punti equidistanti da un punto fisso è una sfera, perciò la suddetta figura deve essere parte di una sfera.
-inoltre, siccome il punto del perimetro a contatto con il piano descrive una criconferenza di raggio r=13, la faccia maggiore della calotta sferica è il diametro della sfera.
-la faccia minore della sfera è invece descritta dal punto più in alto della circonferenza ed ha raggio 119/13;
-Per questo motivo la figura descritta è una calotta sferica a due facce di raggi r1=13 e r2=119/13.
Mi potresti dire se questa dimostrazione è giusta? Grazie mille di nuovo.

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Re: Problema 9 Semifinale Online 1/7/2020

Messaggio da fph » 10 set 2020, 12:08

Mi sembra tutto corretto!
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