SNS 2003 (per quel che mi ricordo)

publiosulpicio · Messaggio da **publiosulpicio** » 01 gen 1970, 01:33

Sicuramente vi interesserà...
 To avoid possible copyright problems, I have changed the wording, but not the substance, of the problems. (kalva docet)
 MATEMATICA
 1)Si considerino due punti A e P nello spazio. Si considerino tutti i possibili piani passanti per A. Si determini il luogo dei punti Q dello spazio tali che Q appartiene a uno dei piani passanti per A e il segmento PQ è perpendicolare al piano, passante per A, cui Q appartienete.
 2)Si considerino due rette r e s intersecantisi e due punti A e B che si muovono rispettivamente su r e su s, alla stessa velocità. Dimostrare che esiste un punto P che è sempre equidistanti dai due punti A e B.
 3)Siano a e b due interi positivi. Sia a+b=30030. Dimostri che ab non è divisibile per 30030. La proprietà è ancora valida se al posto di 30030 si considera 11550? Dire per quali interi positivi c per cui si a+b=c ab è divisibile per c (non ogni ab tali che a+b=c, basta anche una sola coppia, per esempio c=4 va bene perché 4=2+2 e 2*2=4 che è divisibile per 4, non importa che 4=1+3 e 1*3=3 non è divisibile per 4)
 4)Si consideri una circonferenza di raggio unitario e di centro O. Si consideri una sua corda qualsiasi AB. Si consideri la circonferenza che AB come diametro e un punto P su di essa. Si determini, al variare di AB e di P sulla seconda circonferenza, il massimo della lunghezza del segmento OP.
 5)Sia x^3+px^2+qx+r un polinomio in x con tre radici reali. Indicando con d la differenza tra la radice maggiore e la minore si dimostri che sqrt(p^2-3q)<=d<=2/sqrt3*sqrt(p^2-3q)
 6)Si dia la definizione di poligono convesso e si dica cos\'è la sua area.
 
 FISICA
 costanti date: (non mi ricordo i valori numerici) potenza emessa dal sole, massa del sole, costante di gravitazione universale, massa di giove, distanza sole-giove, carica dell\'elettrone, indice di rifrazione dell\'acqua, velocità del suono in acqua, velocità del suono in aria NON è ammesso l\'uso di calcolatrice
 1)Una persona è alta h e riesce a vedere interamente la sua immagine in uno specchio verticale alto k. si determini il minimo valore di k e la posizione che lo specchio deve avere.
 2)Un fotone trasporta una certa quantità di energia E=hv (non so come fare la nu... accontentevi) e un impulso p=h/l dove v è la frequenza e l la lunghezza d\'onda della luce. Un granello di polvere interstrellare è in orbita intorno al sole, ha forma sferica raggio r e assorbe la luce senza riflettere, inoltre ha una densità d. Si calcoli il rapporto tra la forza di attrazione gravitazionale e la forza dovuta all\'impatto con i fotoni. Nel daso d=10^2Kg/m^3 si calcoli l\'ordine di grandezza di r in modo che il rapporto valga 1.
 3)Avere due occhi e due orecchie è indispensabile per apprezzare la distanza di corpi o la direzione dei suoni uditi, ma sapere un po\' di fisica non guasta. Valutare quanto appare profonda una vasca piena d\'acqua a una persona che la osserva da fuori. Valutare quantitativamente come varia la direzione del suono per un nuotatore subaqueo in acqua (questo testo non me lo ricordo molto bene).
 4)
 <img border=\"0\" src=\"http://utenti.tripod.it/mate_fisica/immagine.gif\" width=\"512\" height=\"384\"> Per il circuito riferitevi all\'immagine. (immaginatelo tutto fatto bene...)
 Vengono date le capacità dei due condesatori è la fem del generatore.
 Calcolare quanti elettroni in eccesso (o in difetto) devono essere presenti sulla placchetta per minimizzare l\'energia del sistema.
 5)Un modo per osservare la presenza di un pianeta orbitante intorno a una stella è quello di osservare uno spostamento della frequenza della luce emessa dalla stessa. stimare la sensibilità dello strumento di un osservatore esterno al sistema solare in modo che possa apprezzare l\'esistenza di Giove.
 6)Un satellite orbita su un orbita circolare intorno alla terra di raggio r e vuole essere portato a un orbita circolare, complanare con la prima, sempre intorno alla terra, di raggio R, con R>r accendendo i suoi razzi in questo modo: essi vengono accesi per un istante, quando il satellite abbandona la prima orbita, vengono lasciati spenti, e vengon accesi di nuovo per un istante in modo da farlo entrare nell\'orbita, in sostanza ci sono due accelerazioni istantanee (la seconda quando il satelli interseca la seconda orbita, senza l\'accensione non è detto che ci entri). Si assuma che il conumo di carburante sia proporzionale al quadrato delle variazioni di velocità impresse dai razzi. Si dica qual è la traiettoria (il testo originale diceva orbita, incompresibile...) intermedia tra la prima e la seconda che minimizza il consumo di carburante. [ Questo Messaggio è stato Modificato da: publiosulpicio il 14-09-2003 10:41 ]

Catraga · Messaggio da **Catraga** » 01 gen 1970, 01:33

La prova di matematica non mi sembra particolarmente difficile, forse la domanda relativa al raggio di appartenenza delle radici dell\'equazione di terzo di terzo grado era la più ostica... mentre per il resto 1h e mezza era più che sufficiente, x questa ci ho impiegato 3/4 d\'ora, ma forse ho seguito la strada più lunga e laboriosa...

Catraga · Messaggio da **Catraga** » 01 gen 1970, 01:33

Cmq, per gli interessati ecco alcuni indizi sulle soluzioni dei problemi:
 
 1)Si considerino due punti A e P nello spazio. Si considerino tutti i possibili piani passanti per A. Si determini il luogo dei punti Q dello spazio tali che Q appartiene a uno dei piani passanti per A e il segmento PQ è perpendicolare al piano, passante per A, cui Q appartienete.
 
 APQ è sempre rettangolo... quindi.... pitagora insegna
 
 2)Si considerino due rette r e s intersecantisi e due punti A e B che si muovono rispettivamente su r e su s, alla stessa velocità. Dimostrare che esiste un punto P che è sempre equidistanti dai due punti A e B.
 
 Talete può tornare utile. E poi c\'è sempre la via analitica.... (molte cose si semplificano)
 
 3)Siano a e b due interi positivi. Sia a+b=30030. Dimostri che ab non è divisibile per 30030. La proprietà è ancora valida se al posto di 30030 si considera 11550? Dire per quali interi positivi c per cui si a+b=c ab è divisibile per c (non ogni ab tali che a+b=c, basta anche una sola coppia, per esempio c=4 va bene perché 4=2+2 e 2*2=4 che è divisibile per 4, non importa che 4=1+3 e 1*3=3 non è divisibile per 4)
 
 30030=2.3.5.7.11.13, una sostituzione ed un raccoglimento, una contraddizione, ed il gioco è fatto...
 
 4)Si consideri una circonferenza di raggio unitario e di centro O. Si consideri una sua corda qualsiasi AB. Si consideri la circonferenza che AB come diametro e un punto P su di essa. Si determini, al variare di AB e di P sulla seconda circonferenza, il massimo della lunghezza del segmento OP.
 
 Fin troppo semplice... il problema è supersimmetrico, basta considerare le corde parallele al diametro...
 
 5)Sia x^3+px^2+qx+r un polinomio in x con tre radici reali. Indicando con d la differenza tra la radice maggiore e la minore si dimostri che sqrt(p^2-3q)<=d<=sqrt3/2*sqrt(p^2-3q)
 
 Acc, meglio che non dia consigli qui, tanto so che la mia strada è sbagliata. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

Wilddiamond · Messaggio da **Wilddiamond** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-09-13 15:11, publiosulpicio wrote:
 
 5)Sia x^3+px^2+qx+r un polinomio in x con tre radici reali. Indicando con d la differenza tra la radice maggiore e la minore si dimostri che sqrt(p^2-3q)<=d<=sqrt3/2*sqrt(p^2-3q)
 
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 Mi permetto di corregeere Publio....è sqrt(p^2-3q)<=d<=(2/sqrt(3))*sqrt(p^2-3q).... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

publiosulpicio · Messaggio da **publiosulpicio** » 01 gen 1970, 01:33

Grazie Will.. cmq ora è tutto a posto [ Questo Messaggio è stato Modificato da: publiosulpicio il 14-09-2003 10:42 ]

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

qualcuno gentilmente può reperire una versione tradotta per non-publisulpicii del 3 di fisica?
 grazie...

publiosulpicio · Messaggio da **publiosulpicio** » 01 gen 1970, 01:33

Mi sento preso in giro... chissà come mai

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

nooo.... perché??? è normale non saper esprimere il testo di un problema su cui ci si è scervellati per qualche mezz\'ora in un\'insignificante mattinata settembrina, non ti pare?? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

Pollon · Messaggio da **Pollon** » 01 gen 1970, 01:33

beh, il 5 di mate nn mi sembrava così difficile... basta chiamare a<=b<=c le radici dell\'equazione, in modo che x^3+px^2+qx+r=(x-a)(x-b)(x-c). sviluppando trovo p,q ed r in funzione di a,b e c; d=(c-a); faccio le sostituzioni e il gioco è fatto.....

Catraga · Messaggio da **Catraga** » 01 gen 1970, 01:33

Sì, lo so, adesso che ho il testo giusto è tutto più semplice...
 
 Ecco le soluzioni!! (Non ho resistito...)
 
 1)
 APQ è rettangolo, quindi
 AP^2=AQ^2+QP^2
 AP^2=(xa-xp)^2+(ya-yp)^2+(za-zp)^2
 AQ^2=(xa-x)^2+(ya-y)^2+(za-z)^2
 QP^2=(xp-x)^2+(yp-y)^2+(zp-z)^2
 (xa-xp)^2+(ya-yp)^2+(za-zp)^2=(xa-x)^2+(ya-y)^2+(za-z)^2+(xp-x)^2+(yp-y)^2+(zp-z)^2
 Sviluppando e semplificando si ha:
 x^2+y^2+z^2-(xa+xp)x-(ya+yp)y-(za+zp)z+xa*xp+ya*yp+za*zp=0
 che è l\'equazione di una sfera di raggio AP/2 e per centro il punto medio di AP.
 
 2)
 Prendiamo una bina di assi cartesiani ortogonali
 Facciamo muovere il corpo (1) sull\'asse delle x, il corpo (2) su una retta di equazione y=mx; le due traiettorie hanno un punto in comune come richiesto. Ora consideriamo le equazioni del moto secondo i versori degli assi:
 x1=v.t+x01 x2=v.Cos[a].t+x02=vx.t+x02
 y1=0 y2=v.Sin[a].t+y02=vy.t+y02
 v è il modulo della velocità del corpo (1) e (2) (uguali)
 x01,x02,y02 sono le posizioni all\'istante t[0] dei corpi
 a è l\'angolo misurato in senso antiorario formato dalla traietttoria di (2) con l\'asse x
 I punti equidistanti da (1) e da (2) giacciono sull\'asse del segmento (1)(2); l\'equazione di tale asse è, per definizione:
 (x-x1)^2+(y-y1)^2=(x-x2)^2+(y-y2)^2
 Sostituiendo, sviluppando, semplificando, raccogliendo secondo le potenze di t di ha:
 (2vx.x-2x.v+2vy.y+2v.x01-2vx.x02-2y02.vy)t+(2x.x02-2x.x01+2y.y02+x01^2-x02^2-y02^2)=0
 Questo deve valere per ogni t, quindi deve essere equivalente al polinomio nullo:
 [
 2vx.x-2x.v+2vy.y+2v.x01-2vx.x02-2y02.vy=0
 2x.x02-2x.x01+2y.y02+x01^2-x02^2-y02^2=0
 ]
 Semplificando e raccogliendo secondo la coppia di incognite (x,y) si ha il seguente sistema:
 [
 (vx-v)x+(vy).y=(vx.x02+vy.y02-v.x01)
 (x02-x01)x+(y02).y=(x02^2+y02^2-x01^2)/2
 ]
 Tale sistema è determinato, ed ha una sola soluzione, purchè (vx-v)(y02)=/=(vy)(x02-x01) ovvero (Cos[a]-1)/Sin[a]=/=(x02-x01)/y02
 
 3)
 Supponiamo che
 a+b=c e c|(ab)
 allora ck=ab, b=c-a ==> ck=ac-a^2 ==> c(a-k)=a^2
 Si presentano due casi possibili:
 *) c non è divisibile per nessun quadrato, ovvero è prodotto di numeri primi distinti a potenze unitarie (A.B.C.D...); allora a-k=c.h^2 così a=c.h, ma c.h+b=c implicherebbe [h<1] o impossibile, quindi c non divide ab.
 *) c è divisibile per un quadrato; supponiamo sia C^2 il massimo quadrato che divide c, allora c=C^2.n e a-k=n.h^2 così a=C.n.h; ora C.n.h+b=C^2.n ovvero b=C.n(C-h) con C-h>0. Questa volta esistono C-1 soluzioni: (C.n.h ; C.n.(C-h))
 
 30030=2.3.5.7.11.13 quindi non soddisfa gli assunti del secondo punto, non vi sono soluzioni;
 11550=5^2.2.3.7.11 quindi soddisfa gli assunti del secondo punto, vi sono soluzioni, precisamente vi sono 4 soluzioni.
 
 4)
 Il problema è supersimmetrico (ha infiniti assi di simmetria), basta allora considerare il caso di una corda AB parallela ad un diametro A\'B\'; ora il punto P, giacente sulla circonferenza C di diametro AB, tale per cui (PO_|_A\'B\') ha distanza massima da O. Infatti se cifosse un punto P\' su C tale per cui P\'O>PO, allora la circonferenza G avente per raggio PO taglierebbe C in un punto, cosa she non accade poichè C è completamente interna a G, poichè tangente internamente a questa. (Se fosse vero il contrario, essendo PO un asse di simmetria, G avrebbe 3 punti in comune con C, ma due circonferenza possono al più avere due punti in comune, pena la coincidenza delle stesse, quindi G coindiderebbe con C, cosa che non è vera, a parte il caso in cui AB=A\'B\', poichè AB<A\'B\')
 
 5)
 (Finalmente risolto, col testo giusto)
 p(x)=x^3+p.x^2.q.x+r=(x-a)(x-b)(x-c) con a<=b<=c
 K=p^2-3q=a^2+b^2+c^2-a.b-a.c-b.c
 Dimostriamo ora che (c-a) è in [Rad(K);2.Rad(K/3)]
 *) (c-a)>=Rad(K) ==> (c-a)^2>=K, sviluppando, semplificando e reaccogliendo si ha che (b-a)(b-c)<=0, cosa sempre vera poichè b>=a e b<=c
 *) (c-a)<=2.Rad(K/3) ==> 3.(c-a)^2<=4.K, sviluppando, semplificando e raccogliendo si ha che(a-2b+c)^2>=0, cosa sempre vera poichè è un quadrato
 
 6)
 Mi vergogno a doverlo risolvere....
 
 by Elia A. Calderan (sì, Catraga ha un nome umano come gli altri!!!)
 
 (xk quando posto un messaggio il mio computer fa operazioni di censura sul testo che invio??? Meno indipendenza, più obbedienza!)
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Catraga il 14-09-2003 19:36 ]

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

dite che il primo bisognasse proprio risolverlo x via analitica?
 nn bastava citare il fatto che muovendo il vertice dell\'angolo retto di un triang rettangolo si ottiene una semicirconf, ed estendere il tutto al caso spaziale??

DD · Messaggio da DD » 01 gen 1970, 01:33

bastava

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

un\'altra cosa: (x catraga)
 nel 4 tu hai dimostrato che, DATA la corda AB, il punto che massimizza OP è blah blah blah
 ma il problema dice che bisogna trovare il massimo valore di OP anche in funzione della posizione della corda AB (che quindi può variare), giusto? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">

info · Messaggio da **info** » 01 gen 1970, 01:33

Ok...ho visto quello di mate (quelli di fisica vanno oltre il mio programma scolastico)...1-3-4 fattibili ...il 5 anche...
 Per il 2: ho pensato per un bel pò di tempo ad una sol euclidea. Non ci sono riuscito ed allora ho sfoderato le mie grandiose conoscienze di analisi da terza scientifico. Sono bastate...ma non credo sia l\'approccio giusto...bisognava risolverlo con l\'analisi o ci sono metodi più facili (euclidei)?
 Ciao
 p.s.: non dico il ris del 4°: lascio a Catraga il compito di finire il lavoro iniziato!!

Messaggio da **fph** » 01 gen 1970, 01:33

Soluzione un po\' meno brutale del secondo esercizio (punti che si muovono su rette).
 
 Il fatto che i punti percorrano spazi uguali in tempi uguali significa che e\' possibile sovrapporre una retta (r) all\'altra (s) con un movimento rigido in modo che in ogni istante i punti mobili siano anch\'essi sovrapposti.
 
 Ora, possiamo supporre che questa sia un\'isometria diretta (=che conserva il verso, come traslazioni e rotazioni): infatti, se non lo fosse potremmo comporla con una simmetria assiale attorno a s, che inverte il verso ma lascia invariata la retta interessata.
 
 Quindi (teorema di classificazione delle isometrie...) questa isometria dev\'essere una rotazione o una traslazione. Se fosse una traslazione, manderebbe una retta in una ad essa parallela, ma sappiamo che r e s sono incidenti. Percio\' e\' una rotazione; ora, sia O il suo centro: si ha che per ogni P sulla r, OP=OP\' (P\'=immagine di P) per come e\' fatta una rotazione: ossia, O e\' il punto richiesto.
 
 ciao
 --federico