n-esima funzionale

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

visto che ultimamente vanno di moda...
 
 (f(x)+f(z))(f(y)+f(t))=f(xy-zt)+f(xt+yz)
 
 (x,y,z,t reali)

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

questa cosa è lunghetta e piuttosto fastidiosa...
 l\'ho fatta per una buona metà (mi manca una certa c...)

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

anche a me manca qualcosa per concludere...
 penso che l\'unica sia f(x)=x^2 (tolte f(x)=0 e f(x)=1/2)
 ma sono riuscito solo a dimostrare che la funz è pari, e a trovare identità tipo
 f(x)f(y)=f(xy);
 (f(x)+1)^2=f(x^2+1);
 f(x^2)=f(x)^2 et similia
 
 (in effetti con f(x)=x^2 l\'equazione divanta la famosa identità
 (a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2 ) [ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 08-11-2003 14:52 ]

Messaggio da **fph** » 01 gen 1970, 01:33

Credo che sia un problema delle IMO 2002, se non mi confondo con i testi.
 Vi metto al corrente che per risolverlo e\' moolto utile conoscere alcuni risultati di teoria sulle equazioni funzionali di Cauchy:
 fx+fy=f(x+y)
 f(x)f(y)=f(xy)
 et similia.
 
 --federico

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 per risolverlo e\' moolto utile conoscere alcuni risultati di teoria sulle equazioni funzionali di Cauchy:
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 ...sarebbero?
 se non hai voglia di scriverli, dove posso trovarli?
 thnx

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

nota storica: E\' il problema 5 delle imo 2002 (non le hai fatte anche tu, fede??).

cekko · Messaggio da **cekko** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2003-11-09 16:54, fph wrote:
 fx+fy=f(x+y)
 f(x)f(y)=f(xy)
 et similia.
 
 
 ma queste cose le posso usare sempre nella risoluzione di equazioni funzionali?

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 ma queste cose le posso usare sempre nella risoluzione di equazioni funzionali?
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 no, devi dimostrarle partendo dall\'equazione funzionale!
 ad es in quella sopra, se assumi f(0)=0, sostituendo
 z=t=0 hai che f(x)f(y)=f(xy)
 a questo punto (e penso sia quello che voleva dire fph)
 puoi sfruttare dei risultati già noti su funzioni che soddisfano f(x)f(y)=f(xy)
 (sempre che tu li conosca!)

cekko · Messaggio da **cekko** » 01 gen 1970, 01:33

no, devi dimostrarle partendo dall\'equazione funzionale!
 ad es in quella sopra, se assumi f(0)=0, sostituendo
 z=t=0 hai che f(x)f(y)=f(xy)
 a questo punto (e penso sia quello che voleva dire fph)
 puoi sfruttare dei risultati già noti su funzioni che soddisfano f(x)f(y)=f(xy)
 (sempre che tu li conosca!)
 
 ho capito. ma poi come faccio a considerare tutti gli altri casi per cui f(0) è diverso da 0?

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

beh, nel caso dell\'equazione sopra non sono poi così tanti <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
 infatti se poni x=y=z=t=0 hai
 2f(0)*2f(0)=2f(0) e questo implica che
 - f(0)=0 oppure
 - f(0)=1/2
 se f(0)=1/2, ponendo y=z=t=0 hai (f(x)+f(0))*2f(0)=2f(0)
 e quindi f(x)=1-f(0)=1/2 per ogni x
 se f(0)=0 allora vale f(x)f(y)=f(xy) e poi vai avanti...