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Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da talpuz
visto che ultimamente vanno di moda...
<BR>
<BR>(f(x)+f(z))(f(y)+f(t))=f(xy-zt)+f(xt+yz)
<BR>
<BR>(x,y,z,t reali)
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da ma_go
questa cosa è lunghetta e piuttosto fastidiosa...
<BR>l\'ho fatta per una buona metà (mi manca una certa c...)
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da talpuz
anche a me manca qualcosa per concludere...
<BR>penso che l\'unica sia f(x)=x^2 (tolte f(x)=0 e f(x)=1/2)
<BR>ma sono riuscito solo a dimostrare che la funz è pari, e a trovare identità tipo
<BR>f(x)f(y)=f(xy);
<BR>(f(x)+1)^2=f(x^2+1);
<BR>f(x^2)=f(x)^2 et similia
<BR>
<BR>(in effetti con f(x)=x^2 l\'equazione divanta la famosa identità
<BR>(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2 )<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 08-11-2003 14:52 ]
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da fph
Credo che sia un problema delle IMO 2002, se non mi confondo con i testi.
<BR>Vi metto al corrente che per risolverlo e\' moolto utile conoscere alcuni risultati di teoria sulle equazioni funzionali di Cauchy:
<BR>fx+fy=f(x+y)
<BR>f(x)f(y)=f(xy)
<BR>et similia.
<BR>
<BR>--federico
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da talpuz
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>per risolverlo e\' moolto utile conoscere alcuni risultati di teoria sulle equazioni funzionali di Cauchy:
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>...sarebbero?
<BR>se non hai voglia di scriverli, dove posso trovarli?
<BR>thnx
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da ma_go
nota storica: E\' il problema 5 delle imo 2002 (non le hai fatte anche tu, fede??).
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da cekko
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2003-11-09 16:54, fph wrote:
<BR>fx+fy=f(x+y)
<BR>f(x)f(y)=f(xy)
<BR>et similia.
<BR>
<BR>
<BR>ma queste cose le posso usare sempre nella risoluzione di equazioni funzionali?
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da talpuz
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>ma queste cose le posso usare sempre nella risoluzione di equazioni funzionali?
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>no, devi dimostrarle partendo dall\'equazione funzionale!
<BR>ad es in quella sopra, se assumi f(0)=0, sostituendo
<BR>z=t=0 hai che f(x)f(y)=f(xy)
<BR>a questo punto (e penso sia quello che voleva dire fph)
<BR>puoi sfruttare dei risultati già noti su funzioni che soddisfano f(x)f(y)=f(xy)
<BR>(sempre che tu li conosca!)
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da cekko
no, devi dimostrarle partendo dall\'equazione funzionale!
<BR>ad es in quella sopra, se assumi f(0)=0, sostituendo
<BR>z=t=0 hai che f(x)f(y)=f(xy)
<BR>a questo punto (e penso sia quello che voleva dire fph)
<BR>puoi sfruttare dei risultati già noti su funzioni che soddisfano f(x)f(y)=f(xy)
<BR>(sempre che tu li conosca!)
<BR>
<BR>ho capito. ma poi come faccio a considerare tutti gli altri casi per cui f(0) è diverso da 0?
Inviato: 01 gen 1970, 01:33
da talpuz
beh, nel caso dell\'equazione sopra non sono poi così tanti <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>infatti se poni x=y=z=t=0 hai
<BR>2f(0)*2f(0)=2f(0) e questo implica che
<BR>- f(0)=0 oppure
<BR>- f(0)=1/2
<BR>se f(0)=1/2, ponendo y=z=t=0 hai (f(x)+f(0))*2f(0)=2f(0)
<BR>e quindi f(x)=1-f(0)=1/2 per ogni x
<BR>se f(0)=0 allora vale f(x)f(y)=f(xy) e poi vai avanti...
<BR>