Sia dato un primo p > 3. Definiamo la sequenza a[n] come:
<BR>
<BR>a[n] = n per n=0,1,...,p-1
<BR>a[n] = a[n-1] + a[n-p] per n > p-1
<BR>
<BR>Determinare il resto di a[p³] modulo p.
<BR>
<BR>
<BR>Per te sarà così facile risolverlo, no? Spiega poi la soluzione a noi poveri studentelli... ma probabilmente non saremo in grado di capirla...
<BR>
Per euler25
Moderatore: tutor
-
germania2002
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ragazzi aiuto, ho seguito il consiglio di fede, è ho fatto citazione al post di lordgauss, però non mi dice come si scrive p^3
<BR>uffix[addsig]
<BR>uffix[addsig]
"un uomo deve migliorare di qualcosa il mondo, se si vuole sentire realizzato..."
"Deutschland der beste Staat!"
[url:pvcj9bic]http://www.grid.org[/url:pvcj9bic] (pc vs cancro,sars,peste)
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<!-- BBCode Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Code:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><PRE>
<BR>p<sup>3</sup>
<BR> </PRE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode End -->
<BR>p<sup>3</sup>
<BR> </PRE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode End -->
"E se si sono rotti i freni?"
"Se si sono rotti i freni non ci resta che l'autostop e il viaggio si complica. Faremo il giro del mondo a piedi."
"Se si sono rotti i freni non ci resta che l'autostop e il viaggio si complica. Faremo il giro del mondo a piedi."
<!-- BBCode Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Code:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><PRE>
<BR>p<sup>3</sup>
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<BR>p<sup>3</sup>
<BR></PRE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode End -->
"E se si sono rotti i freni?"
"Se si sono rotti i freni non ci resta che l'autostop e il viaggio si complica. Faremo il giro del mondo a piedi."
"Se si sono rotti i freni non ci resta che l'autostop e il viaggio si complica. Faremo il giro del mondo a piedi."
My lord, mi dispiace tu abbia così scarsa stima di te stesso, ma non penso di aver mai ardito riferirmi, in modo diretto, a te o chiunque altro in questo forum come ad un qualche studentello da quattro soldi... Se le considerazioni cui accompagno puntualmente ogni mio intervento posson risultare, agli occhi di qualcuno di voi, odiose, arroganti o ridicole, me ne dispiace... e son sincero... ma cosa posso farci, io? Non è forse vero che la malizia sta soltanto negli occhi di chi ci osserva e nelle orecchie di chi ci sente? Obiettivamente il mio stile può sembrare talvolta caustico e gratuitamente offensivo, ma ben altri (e credetemi!) intendon essere i miei propositi! E d\'altro canto, quale profitto avrei a trarre ad attaccarvi? Attaccando voi, ucciderei me stesso: poiché molti di voi, come me d\'altronde, amano la Matematica, l\'amano di un amore totale, disinteressato; di un amore talvolta maniacale, eccessivo, finanche perverso... e non penso proprio che la ragione si possa ravvisare nella considerazione che, talvolta, la Matematica rappresenta, per un puro incidente di percorso, l\'unico rimedio alla solitudine devastante che di molti Matematici fu tratto significativo: perché vi assicuro che la mia vita sociale è perfettamente a posto, contrariamente a quanto quel dotto giullare che si fa vanto del nome che già fu di ben altro Galois ha imprudentemente ardito congetturare! In ogni caso, accetto volentieri la sfida del tuo esercizio, e ti prometto di impegnarmi a fondo per non deludere le tue aspettative, my lord! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 10-12-2003 01:40 ]
<center>Le cose cambiano... e i sentimenti pure...</center>
Che blandizie son queste, caro Eulero? \"Dotto giullare\" suona per me come un complimento (più per il sostantivo che per l\'aggettivo) e te ne ringrazio!
<BR>Ciò non toglie che delle accuse che ti ho rivolto, la mancante fosse una a proposito della tua vita sociale...quindi non te la prendere con me: altri te ne avran detto ma non io.
<BR>Inoltre, se vogliamo proprio buttar giù le carte, ecco quel che potrebbe stare (con la dovuta ampollosità di stile e vetustà di lingua) in molti molti messaggi e lunghi.
<BR>Il mio intervento (volto, non lo nego, anche a far ridere gli altri) è dovuto ad una semplice circostanza: questo sito non serve se non ad alimentare un eventuale piacere matematico degli utenti ed è tradizione non detta quanto consolidata che vigano le norme del mutuo soccorso e del vicendevole rispetto. Molte volte le risposte sono parziali per l\'ignoranza dello scrivente, ma altrettante sono uno stimolo alla riflessione rivolto all\'interrogante; non è richiesto sommo rigore nè si scomodano argomenti astrusi o troppo elevati per rispondere alle domande altrui. Tanto meno sono bene accette la saccenza e l\'aristocratico disprezzo per chi ne sa di meno, che, se forse non anche nel tuo cuore, certo a tutti è sembrato ritrovare nel tuo scrivere.
<BR>Insomma, parliamoci chiaro, se vuoi divertirti insieme a tutti noi, nessuno ti dirà di andartene ed anzi credo che la tua evidente preparazione sarà piacevole opportunità di imparare per molti di noi, se però intendi usare (come ora sembra) questo forum per pavoneggiarti di ciò che sai unicamente in virtù del tuo essere più avanti di altri negli studi, puoi anche desistere ora dal proposito e trovare altri luoghi più secondi ad un simile proponimento.
<BR>Questo basti.
<BR>
<BR>Ovviamente parlo per me e per chi eventualmente voglia essere d\'accordo; chi non lo fosse lo dica se lo crede opportuno, ma nessuno pensi che io mi faccia portavoce di tutti, quantomeno non a loro insaputa.
<BR>
<BR>Saluti Euler e, te ne prego, pensa a quel che ho scritto, almeno abbastanza per potermi dar torto.
<BR>Ciò non toglie che delle accuse che ti ho rivolto, la mancante fosse una a proposito della tua vita sociale...quindi non te la prendere con me: altri te ne avran detto ma non io.
<BR>Inoltre, se vogliamo proprio buttar giù le carte, ecco quel che potrebbe stare (con la dovuta ampollosità di stile e vetustà di lingua) in molti molti messaggi e lunghi.
<BR>Il mio intervento (volto, non lo nego, anche a far ridere gli altri) è dovuto ad una semplice circostanza: questo sito non serve se non ad alimentare un eventuale piacere matematico degli utenti ed è tradizione non detta quanto consolidata che vigano le norme del mutuo soccorso e del vicendevole rispetto. Molte volte le risposte sono parziali per l\'ignoranza dello scrivente, ma altrettante sono uno stimolo alla riflessione rivolto all\'interrogante; non è richiesto sommo rigore nè si scomodano argomenti astrusi o troppo elevati per rispondere alle domande altrui. Tanto meno sono bene accette la saccenza e l\'aristocratico disprezzo per chi ne sa di meno, che, se forse non anche nel tuo cuore, certo a tutti è sembrato ritrovare nel tuo scrivere.
<BR>Insomma, parliamoci chiaro, se vuoi divertirti insieme a tutti noi, nessuno ti dirà di andartene ed anzi credo che la tua evidente preparazione sarà piacevole opportunità di imparare per molti di noi, se però intendi usare (come ora sembra) questo forum per pavoneggiarti di ciò che sai unicamente in virtù del tuo essere più avanti di altri negli studi, puoi anche desistere ora dal proposito e trovare altri luoghi più secondi ad un simile proponimento.
<BR>Questo basti.
<BR>
<BR>Ovviamente parlo per me e per chi eventualmente voglia essere d\'accordo; chi non lo fosse lo dica se lo crede opportuno, ma nessuno pensi che io mi faccia portavoce di tutti, quantomeno non a loro insaputa.
<BR>
<BR>Saluti Euler e, te ne prego, pensa a quel che ho scritto, almeno abbastanza per potermi dar torto.
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germania2002
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<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>Insomma, parliamoci chiaro, se vuoi divertirti insieme a tutti noi, nessuno ti dirà di andartene ed anzi credo che la tua evidente preparazione sarà piacevole opportunità di imparare per molti di noi, se però intendi usare (come ora sembra) questo forum per pavoneggiarti di ciò che sai unicamente in virtù del tuo essere più avanti di altri negli studi, puoi anche desistere ora dal proposito e trovare altri luoghi più secondi ad un simile proponimento.
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Concordo, approvo e sottoscrivo.
<BR>Anzi, io ho già espresso la mia ammirazione per euler_25, o chi gli assomiglia (e siete tanti sul forum). Però questo non vuol dire prendersi gioco di chi è inferiore, poichè questo lo può essere per vari motivi di secondaria importanza, in primis che è più giovane è sà naturalmente meno cose.
<BR>[addsig]
<BR>Insomma, parliamoci chiaro, se vuoi divertirti insieme a tutti noi, nessuno ti dirà di andartene ed anzi credo che la tua evidente preparazione sarà piacevole opportunità di imparare per molti di noi, se però intendi usare (come ora sembra) questo forum per pavoneggiarti di ciò che sai unicamente in virtù del tuo essere più avanti di altri negli studi, puoi anche desistere ora dal proposito e trovare altri luoghi più secondi ad un simile proponimento.
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
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<BR>Concordo, approvo e sottoscrivo.
<BR>Anzi, io ho già espresso la mia ammirazione per euler_25, o chi gli assomiglia (e siete tanti sul forum). Però questo non vuol dire prendersi gioco di chi è inferiore, poichè questo lo può essere per vari motivi di secondaria importanza, in primis che è più giovane è sà naturalmente meno cose.
<BR>[addsig]
"un uomo deve migliorare di qualcosa il mondo, se si vuole sentire realizzato..."
"Deutschland der beste Staat!"
[url:pvcj9bic]http://www.grid.org[/url:pvcj9bic] (pc vs cancro,sars,peste)
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Ok, euler, prenderò la tua ironia pesante e ingiustificata come dovuta a un indispettito eccesso di femminismo, magari con punte di frustrazione. Inutile dire comunque che non sono lo psicologo di nessuno.
<BR>
<BR>***
<BR>
<BR>Accolgo con piacere il contenuto del tuo post. Se riuscirai a risolvere il problema ti conquisterai sul campo la mia stima.
<BR>
<BR>***
<BR>
<BR>Accolgo con piacere il contenuto del tuo post. Se riuscirai a risolvere il problema ti conquisterai sul campo la mia stima.
Orbene, spezzerò la mia soluzioni in 3 parti, la prima delle quali vi riporto subito a seguire. Le restanti due le riceverete al più tardi nella serata di domani. Intanto, iniziate pure a pensarci su...
<BR>
<BR>-----------------------------------------------------------------------------------------
<BR>
<BR>Innanzitutto, come sempre, qualche premessa circa le notazioni adottate in questo post: \"!=\" si legge \"diverso da\"; \"!O\" indica l\'insieme vuoto; \"\\/\" si legge \"per ogni\"; \"€\" è il simbolo di appartenenza insiemistica; \"infty\" si legge \"infinito\"; il carattere \"\\\", interposto fra due insiemi A e B, denota l\'insieme di tutti e soli gli elementi di A che non appartengono a B (insieme differenza); \"N\" e \"Z\" indicano, rispettivamente, l\'insieme dei numeri naturali e quello degli interi; \":=\" si legge \"definito da\" oppure \"eguale
<BR>(per definizione o posizione) a\". Ogni altro simbolo dovrebbe risultare autoesplicativo: qualora così non fosse... come ormai è mia consuetudine ripetere... basta chiedere! Ai più critici, ricordo soltanto che qualcuno di noi ben più saggio confidava fermamente nel motto secondo cui \"repetita iuvant\", e per quel che mi attiene, son del tutto d\'accordo con la tesi!
<BR>
<BR>Ora, nella risoluzione del problema proposto alla nostra cortese attenzione da
<BR>quel caro ragazzo di Lordgauss, ci serviremo dei seguenti risultati:
<BR>
<BR>------------------------------------------------------------------------------
<BR>
<BR>Teorema 1: Sia P(#) un qualunque predicato definito per tutti e soli i valori interi di una variabile muta n relativi all\'intervallo reale [0;n_0], essendo
<BR>n_0 un assegnato intero positivo. Se P(0) è un predicato vero e se, per tutti i
<BR>k = 0, 1,..., n_0 - 1, P(k+1) è vero ogniqualvolta è vero P(k), allora P(n) è vero per ogni n = 0, 1,..., n_0.
<BR>
<BR>DIM.: poniamo J := {k€N, 0 <= k <= n_0: P(k) è un predicato falso}. Per costruzione, J è sottoinsieme di N, ed N è un insieme ben ordinato; ammesso dunque per assurdo che sia J != !O, se ne deduce altresì che J è dotato di un elemento minimo (peraltro, unico!).
<BR>In particolare, poniamo j := min(J). Per le proprietà generali di cui gode un siffatto elemento, quando esso è ovviamente definito, come appunto è nell\'ipotesi contestualmente qui presa in esame: j€J, sicché (secondo costruzione) P(j) è un predicato falso.
<BR>
<BR>D\'altro canto, dev\'essere necesssariamente: j != 0, in quanto per ipotesi P(0) rappresenta un predicato vero. E poichè, come già si è potuto stabilire: j€J, se
<BR>ne desume (ancora per costruzione) che: 1 <= j <= n_0, e dunque:
<BR>0 <= j - 1 <= n_0 - 1.
<BR>
<BR>E\' lecito pertanto interrogarsi circa il valore logico assunto dal predicato P(#) quando si attribuisca alla variabile muta n rispetto alla quale esso è definito il valore intero n = j - 1. Ora, ammesso per assurdo che P(j - 1) possa essere un predicato vero, ne verrebbe (coerentemente con le ipotesi assunte)
<BR>che pure P(j) è un predicato vero, in contrasto con la condizione sopra accertata secondo cui P(j) costituisce invece un predicato falso! Tanto è sufficiente allora per asserire che P(j - 1) è esso stesso un predicato falso; perciocchè (secondo costruzione): (j - 1)€J, e dunque: j := min(J) <= j - 1 < < j, ovvero: j < j, il che è assurdo!
<BR>
<BR>Nato dall\'aver supposto che J fosse un insieme non vuoto, l\'assurdo così ottenuto induce necessariamente a concludere che P(n) è un predicato vero per ogni valore intero della variabile n relativo all\'intervallo reale [0;n_0], q.e.d.
<BR>
<BR>-----------------------------------------------------------------------------------------
<BR>
<BR>Teorema 2: sia P(#) un qualunque predicato definito per tutti e soli i valori interi di una variabile muta n relativi all\'intervallo reale [n_0; + infty\\[, con
<BR>n_0€N. C.N.S. perché P(n) sia un predicato vero per ogni n >= n_0 è che, comunque scelto un n€N tale che n >= n_0, P(k) sia vero per ogni
<BR>k = n_0, n_0 + 1, ..., n.
<BR>
<BR>DIM.: per assurdo, la condizione non sia necessaria. In tal caso, per contrapposizione alla tesi, dovrebbero esistere un n_€N (leggi: \"n segnato
<BR>appartenente ad N\" e un k_ = n_0, n_0 + 1, ..., n_ (leggi: \"k segnato...\") tali che P(k_) sia un predicato falso, in contraddizione con l\'ipotesi secondo cui
<BR>P(n) è un predicato vero per ogni n >= n_0, e quindi in particolare per n = k_.
<BR>
<BR>Viceversa, supponiamo che, comunque scelto un n€N tale che n >= n_0 e per ogni indice k = n_0, n_0 + 1, ..., n, P(k) sia un predicato vero. Allora, in particolare, P(k) è vero per k = n; e poiché n rappresenta un arbitrario numero intero non più piccolo di n_0, se ne conclude che P(n) è vero
<BR>in generale per ogni n€N tale che n >= n_0, q.e.d.
<BR>
<BR>Il teorema appena dimostrato rappresenta una formulazione
<BR>equivalente del più noto principio di induzione, e come tale non
<BR>costituisce (in effetti) un risultato di particolare interesse teorico,
<BR>se non per il fatto di mostrarsi più adeguato di quest\'ultimo
<BR>nello studio delle successioni ricorrenti, com\'è appunto quella cui fa
<BR>implicito riferimento l\'esercizio proposto dal nostro amico Lordgauss.
<BR>
<BR>Mo\', lasciatemi soltanto il tempo di battere il resto dell\'articolo... solo un po\' di pazienza! Grazie e... a domani per la restante parte della soluzione! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>
<BR>-----------------------------------------------------------------------------------------
<BR>
<BR>Innanzitutto, come sempre, qualche premessa circa le notazioni adottate in questo post: \"!=\" si legge \"diverso da\"; \"!O\" indica l\'insieme vuoto; \"\\/\" si legge \"per ogni\"; \"€\" è il simbolo di appartenenza insiemistica; \"infty\" si legge \"infinito\"; il carattere \"\\\", interposto fra due insiemi A e B, denota l\'insieme di tutti e soli gli elementi di A che non appartengono a B (insieme differenza); \"N\" e \"Z\" indicano, rispettivamente, l\'insieme dei numeri naturali e quello degli interi; \":=\" si legge \"definito da\" oppure \"eguale
<BR>(per definizione o posizione) a\". Ogni altro simbolo dovrebbe risultare autoesplicativo: qualora così non fosse... come ormai è mia consuetudine ripetere... basta chiedere! Ai più critici, ricordo soltanto che qualcuno di noi ben più saggio confidava fermamente nel motto secondo cui \"repetita iuvant\", e per quel che mi attiene, son del tutto d\'accordo con la tesi!
<BR>
<BR>Ora, nella risoluzione del problema proposto alla nostra cortese attenzione da
<BR>quel caro ragazzo di Lordgauss, ci serviremo dei seguenti risultati:
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<BR>------------------------------------------------------------------------------
<BR>
<BR>Teorema 1: Sia P(#) un qualunque predicato definito per tutti e soli i valori interi di una variabile muta n relativi all\'intervallo reale [0;n_0], essendo
<BR>n_0 un assegnato intero positivo. Se P(0) è un predicato vero e se, per tutti i
<BR>k = 0, 1,..., n_0 - 1, P(k+1) è vero ogniqualvolta è vero P(k), allora P(n) è vero per ogni n = 0, 1,..., n_0.
<BR>
<BR>DIM.: poniamo J := {k€N, 0 <= k <= n_0: P(k) è un predicato falso}. Per costruzione, J è sottoinsieme di N, ed N è un insieme ben ordinato; ammesso dunque per assurdo che sia J != !O, se ne deduce altresì che J è dotato di un elemento minimo (peraltro, unico!).
<BR>In particolare, poniamo j := min(J). Per le proprietà generali di cui gode un siffatto elemento, quando esso è ovviamente definito, come appunto è nell\'ipotesi contestualmente qui presa in esame: j€J, sicché (secondo costruzione) P(j) è un predicato falso.
<BR>
<BR>D\'altro canto, dev\'essere necesssariamente: j != 0, in quanto per ipotesi P(0) rappresenta un predicato vero. E poichè, come già si è potuto stabilire: j€J, se
<BR>ne desume (ancora per costruzione) che: 1 <= j <= n_0, e dunque:
<BR>0 <= j - 1 <= n_0 - 1.
<BR>
<BR>E\' lecito pertanto interrogarsi circa il valore logico assunto dal predicato P(#) quando si attribuisca alla variabile muta n rispetto alla quale esso è definito il valore intero n = j - 1. Ora, ammesso per assurdo che P(j - 1) possa essere un predicato vero, ne verrebbe (coerentemente con le ipotesi assunte)
<BR>che pure P(j) è un predicato vero, in contrasto con la condizione sopra accertata secondo cui P(j) costituisce invece un predicato falso! Tanto è sufficiente allora per asserire che P(j - 1) è esso stesso un predicato falso; perciocchè (secondo costruzione): (j - 1)€J, e dunque: j := min(J) <= j - 1 < < j, ovvero: j < j, il che è assurdo!
<BR>
<BR>Nato dall\'aver supposto che J fosse un insieme non vuoto, l\'assurdo così ottenuto induce necessariamente a concludere che P(n) è un predicato vero per ogni valore intero della variabile n relativo all\'intervallo reale [0;n_0], q.e.d.
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<BR>Teorema 2: sia P(#) un qualunque predicato definito per tutti e soli i valori interi di una variabile muta n relativi all\'intervallo reale [n_0; + infty\\[, con
<BR>n_0€N. C.N.S. perché P(n) sia un predicato vero per ogni n >= n_0 è che, comunque scelto un n€N tale che n >= n_0, P(k) sia vero per ogni
<BR>k = n_0, n_0 + 1, ..., n.
<BR>
<BR>DIM.: per assurdo, la condizione non sia necessaria. In tal caso, per contrapposizione alla tesi, dovrebbero esistere un n_€N (leggi: \"n segnato
<BR>appartenente ad N\" e un k_ = n_0, n_0 + 1, ..., n_ (leggi: \"k segnato...\") tali che P(k_) sia un predicato falso, in contraddizione con l\'ipotesi secondo cui
<BR>P(n) è un predicato vero per ogni n >= n_0, e quindi in particolare per n = k_.
<BR>
<BR>Viceversa, supponiamo che, comunque scelto un n€N tale che n >= n_0 e per ogni indice k = n_0, n_0 + 1, ..., n, P(k) sia un predicato vero. Allora, in particolare, P(k) è vero per k = n; e poiché n rappresenta un arbitrario numero intero non più piccolo di n_0, se ne conclude che P(n) è vero
<BR>in generale per ogni n€N tale che n >= n_0, q.e.d.
<BR>
<BR>Il teorema appena dimostrato rappresenta una formulazione
<BR>equivalente del più noto principio di induzione, e come tale non
<BR>costituisce (in effetti) un risultato di particolare interesse teorico,
<BR>se non per il fatto di mostrarsi più adeguato di quest\'ultimo
<BR>nello studio delle successioni ricorrenti, com\'è appunto quella cui fa
<BR>implicito riferimento l\'esercizio proposto dal nostro amico Lordgauss.
<BR>
<BR>Mo\', lasciatemi soltanto il tempo di battere il resto dell\'articolo... solo un po\' di pazienza! Grazie e... a domani per la restante parte della soluzione! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<center>Le cose cambiano... e i sentimenti pure...</center>
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Antimateria
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Perdona il suggerimento, però forse se avessi evitato di perderti nelle lungaggini preliminari (per dimostrare l\'induzione, poi!) e fossi andato subito al nocciolo della questione, magari esponendo brevemente le idee chiave della tua dimostrazione in modo informale, avresti guadagnato in:
<BR>1) tempo di battitura,
<BR>2) chiarezza,
<BR>3) diffusione delle tue idee.
<BR>
<BR>Non prenderla come una critica, è solo che spero che tu abbia di meglio da fare nella vita che dilungarti in questi dettagli scontati, e ti garantisco che per l\'utente medio del forum sarebbe di gran lunga più efficace ed educativa una soluzione schematica del problema, che metta in evidenza chiaramente i suoi passaggi logici. Conta che per vedere dimostrato il principio d\'induzione basta aprire un libro, e che chi legge questo forum in genere non cerca dimostrazioni appesantite da astrazioni e notazioni varie, ma vorrebbe trovare idee e spunti utili per la soluzione di problemi olimpici.
<BR>1) tempo di battitura,
<BR>2) chiarezza,
<BR>3) diffusione delle tue idee.
<BR>
<BR>Non prenderla come una critica, è solo che spero che tu abbia di meglio da fare nella vita che dilungarti in questi dettagli scontati, e ti garantisco che per l\'utente medio del forum sarebbe di gran lunga più efficace ed educativa una soluzione schematica del problema, che metta in evidenza chiaramente i suoi passaggi logici. Conta che per vedere dimostrato il principio d\'induzione basta aprire un libro, e che chi legge questo forum in genere non cerca dimostrazioni appesantite da astrazioni e notazioni varie, ma vorrebbe trovare idee e spunti utili per la soluzione di problemi olimpici.