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massiminozippy
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Messaggio da massiminozippy » 01 gen 1970, 01:33

Ripropongo qui dei problemi, prevalentemente di Jack, che non hanno avuto più risposta. Alcuni sono abbastanza vecchiotti, altri quasi recenti.
<BR>
<BR>1)Nel piano, sia ABC un triangolo equilatero di lato unitario. Con z>2, sia J il
<BR> luogo dei punti P per cui la somma delle distanze PA,PB,PC è uguale a z.
<BR> Calcolare l\'area della superficie racchiusa da J in funzione di z.
<BR>
<BR>2)Sia f(x) la funzione definita in -1 < x < 1, f(x) = sum[j=0..+inf] x^(2^j)
<BR> Trovare gli zeri della f(x) e dire qual è l\'immagine del punto x=1/2.
<BR>
<BR>3)Trovare tutte le soluzioni naturali di: x^y+y^z=z^x
<BR>
<BR>4)Trovare le f(x) che soddisfano f(x) ^ f\'(x) = e x
<BR>
<BR>5)Dato un triangolo ABC nel piano e un punto P sullo stesso piano, qual\'è il
<BR> luogo dei punti P che al variare di k in R minimizzano AP^k+BP^k+CP^k?
<BR>
<BR>6)Determinare le soluzioni intere al variare di n di x^2 + y^2 = n * z^3
<BR>
<BR>7)NEL PIANO CARTESIANO Abbiamo una parabola y=ax^2 e una
<BR> circonferenza con centro (0;-c) e raggio >c che la interseca in due punti.
<BR> Scrivere l\'equazione dell\'ellisse DI AREA MASSIMA che è possibile
<BR> inscrivere nella zona di intersezione parabola-circonferenza.
<BR>
<BR><IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">Dimostrare per via TRIGONOMETRICA il teorema di Steiner (se un
<BR> triangolo ha due bisettrici congruenti esso è isoscele).
<BR>
<BR>9)Trovare tutte le soluzioni in N[0] dell\'equazione a! = b! * c! diverse da
<BR> quelle del tipo a = x!; b = x; c = x!-1.
<BR>

mario86x
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Messaggio da mario86x » 01 gen 1970, 01:33

Molte grazie, massimino <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

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massiminozippy
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Messaggio da massiminozippy » 01 gen 1970, 01:33

Uuuuuppp!!!!
<BR>

euler_25
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Messaggio da euler_25 » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2003-12-13 23:48, massiminozippy wrote:
<BR>4)Trovare le f(x) che soddisfano f(x) ^ f\'(x) = e x
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Massimino, sei sicuro dell\'espressione a secondo membro della relazione funzionale indicata nella traccia del problema? Non è per caso che volessi intendere \"e<sup>x</sup>\" là dove invece hai scritto \"e x\"? No, lo chiedo perché altrimenti penso proprio di aver risolto un problema completamente diverso... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">
<BR>
<BR>Salvo Tr. alias euler_25
<center>Le cose cambiano... e i sentimenti pure...</center>

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talpuz
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Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

invece voleva proprio intendere e*x
<BR>(ne sono sicuro perchè la questione era già stata chiarita dal suo autore, quando la propose)
<BR>bye
[img:18oeoalk]http://www.narutolegend.it/char_img/Sasuke.jpg[/img:18oeoalk]

euler_25
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Messaggio da euler_25 » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2003-12-23 20:28, talpuz wrote:
<BR>invece voleva proprio intendere e*x
<BR>(ne sono sicuro perchè la questione era già stata chiarita dal suo autore, quando la propose)
<BR>bye
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Oh cazzo... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 23-12-2003 23:04 ]
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EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 01 gen 1970, 01:33

Dunque, siano A, B,C gli angoli e a,b,c i lati a loro opposti. Sia d la lunghezza delle due bisettrici degli angoli B e C
<BR>L\'area del triangolo potrà scriversi come
<BR>S=d/2*(a+c)*sin(B/2)
<BR>e come
<BR>S=d/2*(a+b)*sin(C/2)
<BR>
<BR>Uguagliando e semplificando
<BR>c/b=sin(C/2)/sin(B/2)
<BR>ma dal teorema dei seni
<BR>c/b=sin(C)/sin(B)
<BR>quindi
<BR>sin(C/2)*2sin(B/2)cos(B/2)=sin(B/2)*2sin(C/2)cos(C/2)
<BR>da cui
<BR>cos(B/2)=cos(C/2) e quindi B=C => il triangolo è isoscele.
<BR>CVD
<BR>
<BR>
<BR>

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Messaggio da euler_25 » 01 gen 1970, 01:33

Un\'altra domanda in merito al problema n° 4: sicuri che la traccia non specificasse alcun intervallo in cui ricercare un\'eventuale soluzione?<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 24-12-2003 17:39 ]
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massiminozippy
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Messaggio da massiminozippy » 01 gen 1970, 01:33

Sicuri.

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Messaggio da euler_25 » 01 gen 1970, 01:33

Cercherò di provarvi qui di seguito perché la dimostrazione proposta da Evariste al teorema di Steiner non può ritenersi corretta... Spero soltanto che Samuele non vorrà travisare il senso del mio intervento! E\' solo che amor di verità mi obbliga a postare le considerazioni che ho potuto maturare sul merito del tuo articolo ( <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> ). Cito testualmente:
<BR>
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 24-12-2003 02:16, EvaristeG wrote:
<BR>L\'area del triangolo potrà scriversi come
<BR>S=d/2*(a+c)*sin(B/2)
<BR>e come
<BR>S=d/2*(a+b)*sin(C/2)
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>e fin qui... nulla da eccepire! Subito a presso, tuttavia, il testo sostiene che:
<BR>
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>...Uguagliando e semplificando
<BR>c/b=sin(C/2)/sin(B/2) ............($)
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Ora, eguagliando le due distinte espressioni indicate da Samuele in relazione all\'area del triangolo ABC (che ho giusto sopra riportato), risulta che:
<BR>
<BR>d/2*(a+c)*sin(B/2) = d/2*(a+b)*sin(C/2) ==> [Semplificando e riarrangiando opportunamente] ==> (a + c)/(a + b) = sin(C/2)/sin(B/2)
<BR>
<BR>A questo punto, se la condizione ($) riferita da EvaristeG fosse corretta, ne verrebbe dover essere (per transitività):
<BR>
<BR>(a + c)/(a + b) = c/b <=> (a + c) * b = (a + b) * c <=> ab + bc = ac + bc <=> b = c
<BR>
<BR>Cercando di interpretare correttamente il risultato così ottenuto, diciamo allora che accettare per valida l\'eguaglianza posta da Evariste sarebbe equivalente, in ultima analisi, ad assumere la tesi fra le ipotesi del teorema. In altri termini, Evariste ha utilizzato la tesi del teorema per... dimostrare il teorema stesso, commettendo di conseguenza l\'errore (probabilmente) più ingenuo che un Matematico potrebbe commettere... anche là dove si tratti d\'un matematico del calibro di Samuele, ossia di un matematico di ottimo livello, ben al di là di un giudizio (avventato) formulato sulla base delle <!-- BBCode Start --><B>impressioni</B><!-- BBCode End --> derivate dal singolo caso specifico.
<BR>
<BR>Salvo Tr. alias euler_25
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euler_25
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Messaggio da euler_25 » 01 gen 1970, 01:33

Alla luce delle considerazioni contenute nel post precedente, pubblico di seguito la dimostrazione, che ho personalmente elaborato, del teorema di Steiner... nella speranza che non sia bacata pure questa!!! :-o
<BR>
<BR>---------|
<BR>
<BR>Siano r<sub>A</sub>, r<sub>B</sub> ed r<sub>C</sub> le bisettrici degli angoli interni di un triangolo qualsiasi (non degenere) ABC spiccate, rispettivamente, dai vertici A, B e C del poligono.
<BR>Detti P, Q ed R i punti in cui le tre rette intersecano (internamente) i tre lati del triangolo (ciascuno opposto al vertice da cui origina la relativa bisettrice), ammettiamo (senz\'essere peraltro lesivi di generalità) che sia |AP| = |BQ|, ove
<BR>| · | indica (qui) la misura (euclidea) di un segmento. Vogliamo dimostrare che, in queste ipotesi, gli angoli ‹BAC› ed ‹ABC› sono eguali, onde dedurne che il triangolo ABC è isoscele sulla base AB. Per semplicità di scrittura, poniamo innanzitutto 2x := ‹BAC› e 2y := ‹ABC›, e rileviamo (quantunque ovvio) che dev\'essere: max{2x, 2y} < 180°, e quindi: max{x, y} < 90°, e similmente che: min{2x, 2y} > 0, sicché nondimeno : min{x, y} > 0°, non foss\'altro che pel fatto che 2x e 2y rappresentano angoli interni di un triangolo non degenere! Ciò stabilito, poiché i punti P e Q, come si è detto implicitamente, ricadono (secondo questo stesso ordine) internamente ai lati BC ed AC, si ha che:
<BR>
<BR> 2x = ‹BAC› = ‹BAQ› e 2y = ‹ABC› = ‹ABP› ..........(1)
<BR>
<BR>relazioni (seppur banali tuttavia necessarie...) di cui ci serviremo nel prosieguo. Ora, come noto dalla Geometria Elementare, le due bisettrici r<sub>A</sub> ed r<sub>B</sub> si intersecano in un punto O che è il centro della circonferenza γ inscrittibile al triangolo ABC. Siano detti allora r il raggio di siffatta circonferenza; S, T e V i punti ov\'essa tange (rispettivamente) i lati BC, AC ed AB del triangolo ABC. Sulla base della costruzione così eseguita, i triangoli OPS ed OQT (esclusi i casi degeneri, quando P ≡ S oppure Q ≡ T) sono rettangoli (rispettivamente) in S e T, poiché la condizione di tangenza (secondo definizione) prevede che il raggio della circonferenza osculatrice sia perpendicolare al lato nel punto di contatto, onde dedurne (contestualmente) che OS è ortogonale ad SP e così pure che QT è ortogonale ad OT. Per le medesime considerazioni, si prova poi che anche i triangoli AOV e BOV sono (ambedue) rettangoli in V. A questo punto, poiché la somma degli angoli interni di un triangolo qualsiasi dev\'esser pari a 180°, con riferimento ai triangoli ABP ed ABQ, si deduce in particolare che:
<BR>
<BR>‹APB› = 180° - (‹BAP› + ‹ABP›) = [Vedi la (1)] = 180° - (x + 2y) ..........(2)
<BR>
<BR>‹BQA› = 180° - (‹BAQ› + ‹ABQ›) = [Vedi la (1)] = 180° - (2x + y) ..........(3)
<BR>
<BR>dacché (per costruzione) le rette di AP e BQ sono bisettrici degli angoli in A e B del triangolo ABC. Ciò stabilito, fissiamo adesso l\'attenzione sul triangolo OPS, (come già osservato) rettangolo in S, nell\'ipotesi in cui S <!-- BBCode Start --><B>non sia coincidente</B><!-- BBCode End --> con P (il caso degenere di cui si è detto). Se S cade sul segmento BP, allora ‹OPS› = ‹APB› = [Per la (2)] = 180° - (x + 2y). Se invece S si colloca sul segmento CP, allora ‹OPS› = 180° - ‹OPB› = 180° - ‹APB› = [Per la (2)] = x + 2y. In entrambe le circostanze, comunque: sin(‹OPS›) = sin(x + 2y) != 0, e di conseguenza (dalla trigonometria dei triangoli rettangoli):
<BR>
<BR>r = |OS| = |OP| sin(‹OPS›) =|OP| sin(x+2y) ==> |OP| = r/sin(x+2y) ....(4)
<BR>
<BR>la qual relazione (per inciso) è consistente anche nel caso (singolare) in cui P ≡ S, poiché allora x + 2y = 90°, ovvero sin(x + 2y) = 1, e quindi: |OP| = r = |OS|, così come dev\'essere! Ragionando in modo perfettamente analogo sul triangolo OQT (eventualmente degenere, per Q ≡ T), si dimostra che:
<BR>
<BR>r = |OT| = |OQ| sin(‹OQT›) = |OQ| sin(y+2x) ==> |OQ| = r/sin(y+2x) ...(5)
<BR>
<BR>Del resto, applicando le medesime considerazioni ai triangoli AOV e BOV (ambedue rettangoli in R, come già è stato osservato), si trova che:
<BR>
<BR>r =|OV| =|OA|sin(‹OAV›) =|OA|sin(‹PAB›) =|OA|sin(x) ==> |OA|=r/sin(x) .(6)
<BR>
<BR>r =|OV| =|OB|sin(‹OBV›) =|OB|sin(‹QBA›) =|OB|sin(y) ==> |OB|=r/sin(y) .(7)
<BR>
<BR>E poiché (per ipotesi): |AP| = |BQ|, ne consegue dover essere:
<BR>
<BR>|OA| + |OP| = |OB| + |OQ| ==> [Combinando le eq. (4), (5), (6) e (7)] ==>
<BR>
<BR>==> r/sin(x) + r/sin(x + 2y) = r/sin(y) + r/sin(y + 2x) ==>
<BR>
<BR>==> 1/sin(x) + 1/sin(x + 2y) = 1/sin(y) + 1/sin(y + 2x) ==>
<BR>
<BR>=> [sin(x+2y)+sin(x)]/[sin(x)sin(x+2y)]=[sin(y+2x)+sin(y)]/[sin(y)sin(y+2x)]
<BR>
<BR>sicché, dalle formule di prostaferesi:
<BR>
<BR>==> [sin(x+y)sin(y)]/[sin(x)sin(x+2y)] = [sin(y+x) sin(x)]/[sin(y) sin(y+2x)]
<BR>
<BR>E poiché: 0° < x + y < 180°, ne viene che: sin(x + y) != 0, perciocché (dalla relazione precedente):
<BR>
<BR>sin(y)/[sin(x) · sin(x + 2y)] = sin(x)/[sin(y) · sin(y + 2x)] ..........(8 ) ==>
<BR>
<BR>==> sin<sup>2</sup>(y) · sin(y + 2x) = sin<sup>2</sup>(x) · sin(x + 2y)
<BR>
<BR>donde, procedendo per le formule di addizione e duplicazione del seno e del coseno trigonometrici:
<BR>
<BR>sin<sup>2</sup>(y)[sin(y)cos(2x)+sin(2x)cos(y)]=sin<sup>2</sup>(x)[sin(x)cos(2y)+sin(2y)cos(x)] ==>
<BR>
<BR>==> sin<sup>3</sup>(y) · [1 - 2sin<sup>2</sup>(x)] + 2sin(x)cos(x) sin<sup>2</sup>(y)cos(y) = sin<sup>3</sup>(x) ·
<BR>· [1 - 2sin<sup>2</sup>(y)] + 2sin<sup>2</sup>(x) cos(x) sin(y) cos(y) ==>
<BR>
<BR>==> sin<sup>3</sup>(y) - 2sin<sup>3</sup>(y) sin<sup>2</sup>(x) + 2sin(x) cos(x) sin<sup>2</sup>(y) cos(y) - sin<sup>3</sup>(x) +
<BR>+ 2sin<sup>3</sup>(x) sin<sup>2</sup>(y) - 2sin<sup>2</sup>(x) cos(x) sin(y) cos(y) = 0
<BR>
<BR>da cui, riarrangiando opportunamente a primo membro:
<BR>
<BR>[sin(y) - sin(x)] · [sin<sup>2</sup>(y) + sin(x) sin(y) + sin<sup>2</sup>(x)] - 2sin<sup>2</sup>(y) sin<sup>2</sup>(x) ·
<BR>· [sin(x) - sin(y)] + 2sin(x) cos(x) sin(y) cos(y) · [sin(x) - sin(y)] = 0 ==>
<BR>
<BR>==> [sin(y) - sin(x)] · [sin<sup>2</sup>(y) + sin(x) sin(y) + sin<sup>2</sup>(x) - 2sin<sup>2</sup>(x) sin<sup>2</sup>(y) +
<BR>+2sin(x) cos(x) sin(y) cos(y)] = 0 ==>
<BR>
<BR>==> [sin(y) - sin(x)] · {sin<sup>2</sup>(y) + sin(x) sin(y) + sin<sup>2</sup>(x) + 2sin(x) sin(y) ·
<BR>· [cos(x) cos(y) - sin(x) sin(y)]} = 0 ==>
<BR>
<BR>==> [sin(y)-sin(x)][sin<sup>2</sup>(y)+sin(x)sin(y)+sin<sup>2</sup>(x)+2sin(x)sin(y)cos(x+y)]=0 .(9)
<BR>
<BR>Si tratta a questo punto di dimostrare che il polinomio trigonometrico P(x,y) := sin<sup>2</sup>(y) + sin(x) sin(y) + sin<sup>2</sup>(x) + 2sin(x) sin(y) cos(x + y) è tale che, per ogni x,y€]0, pi/2[: P(x,y) > 0. E ciò è sostanzialmente banale! Difatti, poiché 2x e 2y rappresentano <!-- BBCode Start --><I>due</I><!-- BBCode End --> angoli interni di un triangolo non degenere, dev\'essere: 0° < 2x + 2y < 180° ovvero: 0° < x + y < 90°, e quindi: cos(x + y) > 0. Ne segue che, se x,y€]0, pi/2[: min{sin(x), sin(y), cos(x + y)} > 0, sicché nondimeno il polinomio P(x,y) risulta dotato sempre e comunque - limitatamente alle ipotesi imposte sulla variabilità della coppia (x,y)€R<sup>2</sup> - di segno positivo, dacché somma di quantità positive! In conseguenza della (9), si trova pertanto dover\'essere:
<BR>
<BR>sin(y) - sin(x) = 0 ==> sin(y) = sin(x) ==> x = y
<BR>
<BR>pur di considerare (come più volte implicitamente ribadito) che x ed y sono degli angoli acuti. La dimostrazione (TRIGONOMETRICA) del teorema di Steiner può pertanto ritenersi conclusa... ciaoooooo!
<BR>
<BR>Salvo Tr. alias euler_25
<BR>
<BR>P.S.: è ovvio che gran parte dei conti riportati nella soluzione che ho proposto si sarebbero potuto ragionevolmente omettere senza tuttavia pregiudicarne la correttezza... se in ogni caso mi sono risolto di riportarli integralmente, è soltanto per il fatto che, come ormai avrò detto e ripetuto un numero di volte pari almeno ai 3/4... dei miei interventi precedenti, i dettagli sono essenziali per una più agevole comprensione delle soluzioni da parte dei ragazzi più giovani, e sol per questo meno pronti ad aprirsi un varco fra l\'ermetismo di soluzioni troppo sintetiche... inoltre, i dettagli rendono meno probabile l\'<!-- BBCode Start --><B>occorrenza di errori grossolani</B><!-- BBCode End --> e comunque più immediata la loro individuazione e conseguente correzione...<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 04-01-2004 16:06 ]
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germania2002
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Messaggio da germania2002 » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>P.S.: è ovvio che gran parte dei conti riportati nella soluzione che ho proposto si sarebbero potuto ragionevolmente omettere senza tuttavia pregiudicarne la correttezza... se in ogni caso mi sono risolto di riportarli integralmente, è soltanto per il fatto che, come ormai avrò detto e ripetuto un numero di volte pari almeno ai 3/4... dei miei interventi precedenti, i dettagli sono essenziali per una più agevole comprensione delle soluzioni da parte dei ragazzi più giovani, e sol per questo meno pronti ad aprirsi un varco fra l\'ermetismo di soluzioni troppo sintetiche...</BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>sono perfettamente d\'accordo, anzi tutti (o chi può) dovrebbero fare così poichè i migliori (o più sapienti \"relativamente\") devono divulgare il loro sapere in maniera accessibile.
<BR>Cmq sono sicuro che questo metodo pian piano si diffonderà per tutto il forum, è l\'evoluzione di esso che lo determinerà...[addsig]
"un uomo deve migliorare di qualcosa il mondo, se si vuole sentire realizzato..."
"Deutschland der beste Staat!"
[url:pvcj9bic]http://www.grid.org[/url:pvcj9bic] (pc vs cancro,sars,peste)

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 01 gen 1970, 01:33

Ops... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
<BR>

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 01 gen 1970, 01:33

Uhm...per rimediare alla stupidata (o forse per aggravarla), ecco un finale alternativo e (spero) corretto:
<BR>
<BR>dicevamo che (a+b)/(a+c)=sin(B/2)/sin(C/2)
<BR>e possiamo riscrivere il tutto
<BR>(sin(A)+sin(B))/(sin(A)+sin(C))=Sqrt((1-cos(B))/(1-cos(C)))
<BR>
<BR>Ora, possiamo considerare A fissato e quindi esprimere B in funzione di C e di A:
<BR>sin(B)=sin(180-A-C)=sin(A+C)
<BR>cos(B)=cos(180-A-C)=-cos(A+C)
<BR>
<BR>e dunque (sin(A)+sin(A+C))/(sin(A)+sin(C))=Sqrt((1+cos(A+C))/(1-cos(C)))
<BR>
<BR>Dunque, se eleviamo al quadrato e portiamo tutto a primo membro, otteniamo un\'espressione che è (con moooolta carta e matita) fattorizzabile come:
<BR>1/8*cos(A/2)*cos(A/2 + C)*(1-3cos(A)+cos(2A)-2cos(C)+2cos(A+C)+cos(A+2C))*(cosec(A/2 + C/2))^2*(cosec(C/2))^2*(sec(A/2-C/2))^2=0
<BR>
<BR>cos(A/2) si annulla solo se A/2=90, ma ciò è impossibile;
<BR>cosecanti e secanti non si annullano;
<BR>cos(A/2+C) si annulla solo se C=90-A/2 ovvero se il triangolo è isoscele;
<BR>1-3cos(A)+cos(2A)-2cos(C)+2cos(A+C)+cos(A+2C)=(1+cos(2A))-2cos(C)*(1-cos(A))-cos(A)(3-cos(2C))-2sin(A)sin(C)*(1+cos(C))=
<BR>-cos(A)*(3-2cos(A)-cos(2C))-2cos(C)*(1-cos(A))-2sin(A)sin(C)*(1+cos(C))<0
<BR>e quindi neanche questo fattore si annulla mai.
<BR>
<BR>Quindi l\'unica condizione che permette di verificare la condizione che le due bisettrici siano uguali è che il triangolo sia isoscele.
<BR>
<BR>P.S.:spero non ci siano errori stavolta...o almeno che siano meno lampanti.

euler_25
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Messaggio da euler_25 » 01 gen 1970, 01:33

E allora, Samuele, eccoci di nuovo a noi... ho letto il testo (riveduto e corretto, si direbbe!) della tua soluzione al quesito di MassiminoZippy sul teorema di Steiner... giusto appena per capirne di più sul conto della tua personalità Matematica... e non solo!!! Sì, proprio così! Perché, come qualcuno ha sostenuto la cui saggezza di gran lunga eccelle sopra la migliore delle mie virtù a rovescio, la scrittura è il riflesso dell\'interiorità d\'un uomo, ed ecco chiarita la ragione per cui la mia tende ad essere così contorta e arzigogolata... A parte questa vaga digressione, scorrendo il tuo intervento, non ho potuto fare a meno di notare che qualcosa, nell\'ispirata sommarietà computazionale dei calcoli da te caparbiamente intavolati decisamente non mi quadra!!! E dico \"caparbiamente\" perché, ammettiamolo (ed è questa in fondo la ragione attuale del mio evidente disappunto...): allo stato in cui si era giunti, avresti potuto benissimo risparmiarti il tuo ultimo post e cavartela con stile, quand\'anche ne avessi avvertito l\'esigenza, al prezzo di un semplice \"ops...\", come a caldo in effetti t\'eri risolto di fare...!!! E invece, alla fine, la vanità ha prevalso sulla ragione e così hai scelto di fare lo sborrone...!!! Poco male... cito testualmente:
<BR>
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 26-12-2003, at 01:08, EvaristeG wrote:
<BR>...e dunque (sin(A)+sin(A+C))/(sin(A)+sin(C))=Sqrt((1+cos(A+C))/(1-cos(C)))
<BR>
<BR>Dunque, se eleviamo al quadrato e portiamo tutto a primo membro, otteniamo un\'espressione che è (con moooolta carta e matita) fattorizzabile come:
<BR>1/8*cos(A/2)*cos(A/2 + C)*(1-3cos(A)+cos(2A)-2cos(C)+2cos(A+C)+cos(A+2C))*(cosec(A/2 + C/2))^2*(cosec(C/2))^2*(sec(A/2-C/2))^2=0
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Ora, non ho neppure tentato di verificare (con il buon vecchio metodo \"carta e penna\") i calcoli che, a tuo dire, porterebbero ad un simìl parto! Tuttavia, mi sono preso la briga di far svolgere questo arduo compito alla mia versione (rigorosamente registrata...) del Mathematica di Wolfram, e ti dirò... il povero programmino non è che abbia saputo darmi risposte esaustive a riguardo! Ma questo, dopo tutto, ha un valore relativo, poiché i calcolatori, almeno ad oggi, non sono altro che un freddo ammasso di circuiti elettronici privi di fantasia e sentimento, due ingredienti (in verità) fondamentali nel \"far di Matematica\" come pure (d\'altro canto) nel menar la propria vita per le vie del mondo!!! E questa è già una prima osservazione, ancorché non troppo significativa, poiché fondata su labili argomentazioni, com\'io stesso tengo a precisare!!! Tuttavia, poco oltre, tu suggerisci la sussistenza della seguente identità:
<BR>
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 26-12-2003, at 01:08, EvaristeG wrote:
<BR>1-3cos(A)+cos(2A)-2cos(C)+2cos(A+C)+cos(A+2C) =
<BR>-cos(A)*(3-2cos(A)-cos(2C))-2cos(C)*(1-cos(A))-2sin(A)sin(C)*(1+cos(C))
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>la quale (non saprei proprio come dirtelo...) è palesemente falsa (e credo che questa sia in effetti l\'espressione più indolore)!!! Difatti, trattandosi d\'un\'identità, la nostra dovrebbe sussistere per ogni particolare valore attribuito ai parametri A e C in essa coinvolti, indipendentemente (peraltro) dalle restrizioni imposte sui medesimi dai vincoli pregressi del problema! Ora tuttavia, per A = C = pi/2, si verifica facilmente che il membro di sinistra della relazione di cui qui si discute assume il valore -2, là dove contrariamente il membro di destra si porta a 0. E se anche pensassi (irragionevolmente) che l\'incrongruenza fra i due risultati si possa imputare alla scelta \"viziata\" dei valori numerici attribuiti agli angoli A e C (che, per una serie di limitazioni di natura geometrica strettamente determinate dal problema, sono variabili entrambi, come pure B del resto, nell\'intervallo ]0, pi[, con la condizione addizionale che sia: A + B + C = pi), allora ti inviterei a verificare che anche fissando A = C = pi/4, e così pure per altri infiniti valori che, per ragioni di tempo..., non sto qui ad elencare ( <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> ), l\'identità da te indicata risulta comunque men che meno soddisfatta!!! Allora, in conclusione... sul merito del profetico dubbio che tu stesso avevi avanzato (forse, in un tipico accesso di falsa modestia...) in principio del tuo ultimo post, là dove affermavi:
<BR>
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 26-12-2003, at 01:08, EvaristeG wrote:
<BR>Uhm...per rimediare alla stupidata (o forse per aggravarla), ecco un finale alternativo e (spero) corretto:
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>beh... direi che (oggettivamente) le tue speranze sono state in parte disattese, non credi?! Ciao, testone (nel senso, preciso, di <!-- BBCode Start --><I>capoccione poca caniglia e tutto gnegno</I><!-- BBCode End -->)!
<BR>
<BR>Salvo Tr. alias euler_25<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 29-12-2003 21:50 ]
<center>Le cose cambiano... e i sentimenti pure...</center>

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