Alla luce delle considerazioni contenute nel post precedente, pubblico di seguito la dimostrazione, che ho personalmente elaborato, del teorema di Steiner... nella speranza che non sia bacata pure questa!!!
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<BR>Siano r<sub>A</sub>, r<sub>B</sub> ed r<sub>C</sub> le bisettrici degli angoli interni di un triangolo qualsiasi (non degenere) ABC spiccate, rispettivamente, dai vertici A, B e C del poligono.
<BR>Detti P, Q ed R i punti in cui le tre rette intersecano (internamente) i tre lati del triangolo (ciascuno opposto al vertice da cui origina la relativa bisettrice), ammettiamo (senz\'essere peraltro lesivi di generalità) che sia |AP| = |BQ|, ove
<BR>| · | indica (qui) la misura (euclidea) di un segmento. Vogliamo dimostrare che, in queste ipotesi, gli angoli ‹BAC› ed ‹ABC› sono eguali, onde dedurne che il triangolo ABC è isoscele sulla base AB. Per semplicità di scrittura, poniamo innanzitutto 2x := ‹BAC› e 2y := ‹ABC›, e rileviamo (quantunque ovvio) che dev\'essere: max{2x, 2y} < 180°, e quindi: max{x, y} < 90°, e similmente che: min{2x, 2y} > 0, sicché nondimeno : min{x, y} > 0°, non foss\'altro che pel fatto che 2x e 2y rappresentano angoli interni di un triangolo non degenere! Ciò stabilito, poiché i punti P e Q, come si è detto implicitamente, ricadono (secondo questo stesso ordine) internamente ai lati BC ed AC, si ha che:
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<BR> 2x = ‹BAC› = ‹BAQ› e 2y = ‹ABC› = ‹ABP› ..........(1)
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<BR>relazioni (seppur banali tuttavia necessarie...) di cui ci serviremo nel prosieguo. Ora, come noto dalla Geometria Elementare, le due bisettrici r<sub>A</sub> ed r<sub>B</sub> si intersecano in un punto O che è il centro della circonferenza γ inscrittibile al triangolo ABC. Siano detti allora r il raggio di siffatta circonferenza; S, T e V i punti ov\'essa tange (rispettivamente) i lati BC, AC ed AB del triangolo ABC. Sulla base della costruzione così eseguita, i triangoli OPS ed OQT (esclusi i casi degeneri, quando P ≡ S oppure Q ≡ T) sono rettangoli (rispettivamente) in S e T, poiché la condizione di tangenza (secondo definizione) prevede che il raggio della circonferenza osculatrice sia perpendicolare al lato nel punto di contatto, onde dedurne (contestualmente) che OS è ortogonale ad SP e così pure che QT è ortogonale ad OT. Per le medesime considerazioni, si prova poi che anche i triangoli AOV e BOV sono (ambedue) rettangoli in V. A questo punto, poiché la somma degli angoli interni di un triangolo qualsiasi dev\'esser pari a 180°, con riferimento ai triangoli ABP ed ABQ, si deduce in particolare che:
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<BR>‹APB› = 180° - (‹BAP› + ‹ABP›) = [Vedi la (1)] = 180° - (x + 2y) ..........(2)
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<BR>‹BQA› = 180° - (‹BAQ› + ‹ABQ›) = [Vedi la (1)] = 180° - (2x + y) ..........(3)
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<BR>dacché (per costruzione) le rette di AP e BQ sono bisettrici degli angoli in A e B del triangolo ABC. Ciò stabilito, fissiamo adesso l\'attenzione sul triangolo OPS, (come già osservato) rettangolo in S, nell\'ipotesi in cui S <!-- BBCode Start --><B>non sia coincidente</B><!-- BBCode End --> con P (il caso degenere di cui si è detto). Se S cade sul segmento BP, allora ‹OPS› = ‹APB› = [Per la (2)] = 180° - (x + 2y). Se invece S si colloca sul segmento CP, allora ‹OPS› = 180° - ‹OPB› = 180° - ‹APB› = [Per la (2)] = x + 2y. In entrambe le circostanze, comunque: sin(‹OPS›) = sin(x + 2y) != 0, e di conseguenza (dalla trigonometria dei triangoli rettangoli):
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<BR>r = |OS| = |OP| sin(‹OPS›) =|OP| sin(x+2y) ==> |OP| = r/sin(x+2y) ....(4)
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<BR>la qual relazione (per inciso) è consistente anche nel caso (singolare) in cui P ≡ S, poiché allora x + 2y = 90°, ovvero sin(x + 2y) = 1, e quindi: |OP| = r = |OS|, così come dev\'essere! Ragionando in modo perfettamente analogo sul triangolo OQT (eventualmente degenere, per Q ≡ T), si dimostra che:
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<BR>r = |OT| = |OQ| sin(‹OQT›) = |OQ| sin(y+2x) ==> |OQ| = r/sin(y+2x) ...(5)
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<BR>Del resto, applicando le medesime considerazioni ai triangoli AOV e BOV (ambedue rettangoli in R, come già è stato osservato), si trova che:
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<BR>r =|OV| =|OA|sin(‹OAV›) =|OA|sin(‹PAB›) =|OA|sin(x) ==> |OA|=r/sin(x) .(6)
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<BR>r =|OV| =|OB|sin(‹OBV›) =|OB|sin(‹QBA›) =|OB|sin(y) ==> |OB|=r/sin(y) .(7)
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<BR>E poiché (per ipotesi): |AP| = |BQ|, ne consegue dover essere:
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<BR>|OA| + |OP| = |OB| + |OQ| ==> [Combinando le eq. (4), (5), (6) e (7)] ==>
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<BR>==> r/sin(x) + r/sin(x + 2y) = r/sin(y) + r/sin(y + 2x) ==>
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<BR>==> 1/sin(x) + 1/sin(x + 2y) = 1/sin(y) + 1/sin(y + 2x) ==>
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<BR>=> [sin(x+2y)+sin(x)]/[sin(x)sin(x+2y)]=[sin(y+2x)+sin(y)]/[sin(y)sin(y+2x)]
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<BR>sicché, dalle formule di prostaferesi:
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<BR>==> [sin(x+y)sin(y)]/[sin(x)sin(x+2y)] = [sin(y+x) sin(x)]/[sin(y) sin(y+2x)]
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<BR>E poiché: 0° < x + y < 180°, ne viene che: sin(x + y) != 0, perciocché (dalla relazione precedente):
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<BR>sin(y)/[sin(x) · sin(x + 2y)] = sin(x)/[sin(y) · sin(y + 2x)] ..........(8 ) ==>
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<BR>==> sin<sup>2</sup>(y) · sin(y + 2x) = sin<sup>2</sup>(x) · sin(x + 2y)
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<BR>donde, procedendo per le formule di addizione e duplicazione del seno e del coseno trigonometrici:
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<BR>sin<sup>2</sup>(y)[sin(y)cos(2x)+sin(2x)cos(y)]=sin<sup>2</sup>(x)[sin(x)cos(2y)+sin(2y)cos(x)] ==>
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<BR>==> sin<sup>3</sup>(y) · [1 - 2sin<sup>2</sup>(x)] + 2sin(x)cos(x) sin<sup>2</sup>(y)cos(y) = sin<sup>3</sup>(x) ·
<BR>· [1 - 2sin<sup>2</sup>(y)] + 2sin<sup>2</sup>(x) cos(x) sin(y) cos(y) ==>
<BR>
<BR>==> sin<sup>3</sup>(y) - 2sin<sup>3</sup>(y) sin<sup>2</sup>(x) + 2sin(x) cos(x) sin<sup>2</sup>(y) cos(y) - sin<sup>3</sup>(x) +
<BR>+ 2sin<sup>3</sup>(x) sin<sup>2</sup>(y) - 2sin<sup>2</sup>(x) cos(x) sin(y) cos(y) = 0
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<BR>da cui, riarrangiando opportunamente a primo membro:
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<BR>[sin(y) - sin(x)] · [sin<sup>2</sup>(y) + sin(x) sin(y) + sin<sup>2</sup>(x)] - 2sin<sup>2</sup>(y) sin<sup>2</sup>(x) ·
<BR>· [sin(x) - sin(y)] + 2sin(x) cos(x) sin(y) cos(y) · [sin(x) - sin(y)] = 0 ==>
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<BR>==> [sin(y) - sin(x)] · [sin<sup>2</sup>(y) + sin(x) sin(y) + sin<sup>2</sup>(x) - 2sin<sup>2</sup>(x) sin<sup>2</sup>(y) +
<BR>+2sin(x) cos(x) sin(y) cos(y)] = 0 ==>
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<BR>==> [sin(y) - sin(x)] · {sin<sup>2</sup>(y) + sin(x) sin(y) + sin<sup>2</sup>(x) + 2sin(x) sin(y) ·
<BR>· [cos(x) cos(y) - sin(x) sin(y)]} = 0 ==>
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<BR>==> [sin(y)-sin(x)][sin<sup>2</sup>(y)+sin(x)sin(y)+sin<sup>2</sup>(x)+2sin(x)sin(y)cos(x+y)]=0 .(9)
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<BR>Si tratta a questo punto di dimostrare che il polinomio trigonometrico P(x,y) := sin<sup>2</sup>(y) + sin(x) sin(y) + sin<sup>2</sup>(x) + 2sin(x) sin(y) cos(x + y) è tale che, per ogni x,y€]0, pi/2[: P(x,y) > 0. E ciò è sostanzialmente banale! Difatti, poiché 2x e 2y rappresentano <!-- BBCode Start --><I>due</I><!-- BBCode End --> angoli interni di un triangolo non degenere, dev\'essere: 0° < 2x + 2y < 180° ovvero: 0° < x + y < 90°, e quindi: cos(x + y) > 0. Ne segue che, se x,y€]0, pi/2[: min{sin(x), sin(y), cos(x + y)} > 0, sicché nondimeno il polinomio P(x,y) risulta dotato sempre e comunque - limitatamente alle ipotesi imposte sulla variabilità della coppia (x,y)€R<sup>2</sup> - di segno positivo, dacché somma di quantità positive! In conseguenza della (9), si trova pertanto dover\'essere:
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<BR>sin(y) - sin(x) = 0 ==> sin(y) = sin(x) ==> x = y
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<BR>pur di considerare (come più volte implicitamente ribadito) che x ed y sono degli angoli acuti. La dimostrazione (TRIGONOMETRICA) del teorema di Steiner può pertanto ritenersi conclusa... ciaoooooo!
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<BR>Salvo Tr. alias euler_25
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<BR>P.S.: è ovvio che gran parte dei conti riportati nella soluzione che ho proposto si sarebbero potuto ragionevolmente omettere senza tuttavia pregiudicarne la correttezza... se in ogni caso mi sono risolto di riportarli integralmente, è soltanto per il fatto che, come ormai avrò detto e ripetuto un numero di volte pari almeno ai 3/4... dei miei interventi precedenti, i dettagli sono essenziali per una più agevole comprensione delle soluzioni da parte dei ragazzi più giovani, e sol per questo meno pronti ad aprirsi un varco fra l\'ermetismo di soluzioni troppo sintetiche... inoltre, i dettagli rendono meno probabile l\'<!-- BBCode Start --><B>occorrenza di errori grossolani</B><!-- BBCode End --> e comunque più immediata la loro individuazione e conseguente correzione...<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 04-01-2004 16:06 ]