Questione di f...li.

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euler_25
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Messaggio da euler_25 » 01 gen 1970, 01:33

Ben ritrovati a tutti, innanzitutto! E allora... prima che mi congedassi da voi per dedicarmi animo, anima e corpo al mio trasloco verso le più alte latitudine... diciamo così... qualcuno (ma_go o forse franc_... sinceramente, non lo ricordo... ché d\'altro canto, è successo giovedì o venerdì scorso... ovvero a dirsi, quasi 20 teoremi fa...) mi chiese di dare un\'occhiata alla funzionale inclusa fra i temi delle IMO di Hong Kong 1994, datosi che (così mi è parso almeno di capire) vi era in corso una disputa in chat circa la presunta correttezza di una certa soluzione di ma_go (che tuttora disconosco) al quesito di cui sopra ho detto. Ebbene, un\'occhiata gliel\'ho data volentieri e vorrei riproporre qui sul forum le considerazioni che sono riuscito a tirar fuori, con la speranza che qualcuno sappia trarne giovamento, forte della convinzione che le funzionali (anche a basso livello) rientrano a pieno titolo nel novero dei problemi più ostici e interessanti che la Matematica sia in grado di offrire! Ciò detto, forza e coraggio e... cominciamo.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><I>In primis</I><!-- BBCode End -->, richiamiamo la traccia del problema (traduco letteralmente dal testo originale in inglese):
<BR>
<BR>Sia S l\'insieme dei numeri reali (strettamente) maggiori di -1. Determinare tutte le funzioni f: S --> S che soddisfano le due condizioni:
<BR>1) f(x + f(y) + x*f(y)) = y + f(x) + y*f(x), per ogni x,y€S;
<BR>2) f(x)/x è strettamente crescente su ciascuno degli intervalli -1<x<0 ed x>0.
<BR>
<BR>Questo il problema! Vediamo di procedere nella sua risoluzione...
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Passo i): per ogni x€S: f(f(x)) = x + f(0) + x*f(0).</B><!-- BBCode End -->
<BR>Dim.: è banale. Basta utilizzare la condizione espressa dalla (1), assumendo x = 0 ed y arbitrariamente variabile in S, donde ottenere:
<BR>
<BR>f(f(y)) = f(0 + f(y) + 0*f(y)) = y + f(0) + y*f(0)
<BR>
<BR>da cui l\'asserto, a patto di considerare che y è una variabile muta in seno alla relazione precedente, e pertanto può essere rinominata <!-- BBCode Start --><I>ad libitum</I><!-- BBCode End -->, senza che ciò alteri tuttavia la <!-- BBCode Start --><I>sostanza</I><!-- BBCode End --> della identità stabilita, q.e.d.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Passo ii): f(-) è iniettiva in S.</B><!-- BBCode End -->
<BR>Dim.: per assurdo, ammettiamo che f(-) <!-- BBCode Start --><I>non sia</I><!-- BBCode End --> iniettiva in S. Allora, secondo definizione, dovranno esistere almeno due punti x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub>€S, con x<sub>1</sub> != x<sub>2</sub>, tali che:
<BR>f(x<sub>1</sub>) = f(x<sub>2</sub>). Onde dedurne, particolarizzando la i) per x = x<sub>1</sub> ed x = x<sub>2</sub>, che:
<BR>
<BR>f(f(x<sub>1</sub>)) = x<sub>1</sub> + f(0) + x<sub>1</sub>*f(0)
<BR>f(f(x<sub>2</sub>)) = x<sub>2</sub> + f(0) + x<sub>2</sub>*f(0)
<BR>
<BR>E poiché si suppone: f(x<sub>1</sub>) = f(x<sub>2</sub>), tanto è sufficiente per concludere (per transitività) che:
<BR>
<BR>x<sub>1</sub> + f(0) + x<sub>1</sub>*f(0) = x<sub>2</sub> + f(0) + x<sub>2</sub>*f(0) ==> (1 + f(0))*x<sub>1</sub> = (1 + f(0))*x<sub>2</sub>
<BR>
<BR>D\'altro canto, per la natura di ogni eventuale soluzione alla funzionale di cui qui si discute: f(x) > -1, ovvero: f(x) + 1 > 0, per qualsivoglia x€S. <!-- BBCode Start --><I>Ergo</I><!-- BBCode End -->, in particolare: 1 + f(0) != 0, e pertanto è lecito quozientare per questa medesima quantità i due membri della relazione ultima sopra indicata, quinci ottenere che:
<BR>
<BR>(1 + f(0))*x<sub>1</sub> = (1 + f(0))*x<sub>2</sub> ==> x<sub>1</sub> = x<sub>2</sub>
<BR>
<BR>e ciò è assurdo, dacché si è assunto conversamente che x<sub>1</sub> ed x<sub>2</sub> fossero punti distinti in S. L\'assurdo, insorto dall\'aver negato la consistenza della tesi qui dibattuta, induce a concluder di converso che f(-) è una funzione iniettiva in S, q.e.d.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Passo iii): per ogni x€S: f(x + f(0) + x*f(0)) = f(x).</B><!-- BBCode End -->
<BR>Dim.: è banale. Basta utilizzare la condizione espressa dalla (1), assumendo y = 0 ed x arbitrariamente variabile in S, donde ottenere:
<BR>
<BR>f(x + f(0) + x*f(0)) = 0 + f(x) + 0*f(x) = f(x)
<BR>
<BR>da cui (evidentemente) l\'asserto, q.e.d.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Passo iv): f(0) = 0.</B><!-- BBCode End -->
<BR>Dim.: dalle proprietà generali d\'ogni possibile soluzione al problema qui preso allo studio: f(x) > -1, ovvero: f(x) + 1 > 0, per ogni x€S, come già è stato detto. Dunque, in particolare: 1 + f(0) != 0, è quindi <!-- BBCode Start --><I>licet</I><!-- BBCode End --> definire in R il punto x<sub>0</sub> := - f(0)/[1 + f(0)]. Osservando poi che, qualunque sia f(0)€S: x<sub>0</sub> > -1. Cosicché, fissando x = x<sub>0</sub> in corrispondenza della iii) e considerando che: x<sub>0</sub> + f(0) + x<sub>0</sub>*f(0) = 0, si conclude dover essere:
<BR>
<BR>f(0) = f(x<sub>0</sub>) := f(- f(0)/[1 + f(0)]) ==> [Per l\'iniettività] ==> 0 = - f(0)/[1 + f(0)]
<BR>
<BR>onde ottenerne in definitiva: f(0) = 0, q.e.d.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Passo v): f(-) è idempotente, ovvero: f(f(x)) = x, per ogni x€S.</B><!-- BBCode End -->
<BR>Dim.: è banale, a questo punto... Difatti, sulla base delle condizioni espresse dalle relazioni i) e iv), risulta che:
<BR>
<BR>p.o. x€S: f(f(x)) = x + f(0) + x*f(0) = x + 0 + x*0 = x, q.e.d.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Passo vi): f(-) è suriettiva in S.</B><!-- BBCode End -->
<BR>Dim.: in linea di principio, si tratta di provare che, comunque fissato un punto y nel codominio della f(-), esiste un ulteriore punto x nel dominio della medesima funzione tal che: f(x) = y. E poiché dominio e codominio della f(-) coincidono in S, ciò si riduce (nel nostro caso specifico) a dimostrare che, per ogni y€S, esiste un x€S per cui: f(x) = y. E ciò è banale, quantomeno a questo punto... Difatti, dalla v), per ogni y€S: f(f(y)) = y, pur di considerare che la x in corrispondenza della citata relazione è una variabile muta, e come tale può essere rinominata a piacere, senza che ciò alteri tuttavia la <!-- BBCode Start --><I>sostanza</I><!-- BBCode End --> della identità stabilita. Di qui, considerando (del resto) che, per ogni y€S: f(y)€S, se ne trae che, per ogni y€S, esiste un x€S, essendo x := f(y), tale per cui: f(x) = y, perciocché (secondo definizione) f(-) è una funzione suriettiva in S, q.e.d.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Passo vii): f(-) realizza una corrisponde biunivoca da S in S.</B><!-- BBCode End -->
<BR>Dim.: è banale, a questo punto... E\' sufficiente difatti rammentare che una funzione arbitraria g(-): X --> Y è bigettiva da X in Y se e soltanto se essa è iniettiva in X e suriettiva in Y; donde dedurre la consistenza della tesi sulla base delle condizioni espresse in ii) e vi) relativamente alla f(-), q.e.d.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Passo viii): riportato il grafico della f(-) su un sistema di assi cartesiani ortonormali Oxy, f(-) risulta simmetrica rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.</B><!-- BBCode End -->
<BR>Dim.: si tratta di mostrare che, comunque fissato un x€S:
<BR>
<BR>(x, f(x))€graf{f(-)} ==> (f(x), x)€graf{f(-)}
<BR>
<BR>E ciò è banale, almeno a questo punto... Difatti, se (x, f(x)) è un punto generico sul grafico della f(-), allora - a seguito della v): f(f(x)) = x, e pertanto:
<BR>(f(x), x)€graf{f(-)}. Da cui l\'asserto, pur di generalizzare sull\'arbitrarietà di scelta dell\'x€S cui le argomentazioni precedenti sono state riferite, q.e.d.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Nota 1</B><!-- BBCode End -->: in conseguenza della condizioni stabilita in viii), la conoscenza dell\'espressione generale di ogni arbitraria soluzione f(-) alla funzionale qui presa in esame può essere dedotta sulla base della <!-- BBCode Start --><I>sola</I><!-- BBCode End --> conoscenza dell\'espressione che questa stessa assume in ]-1, 0] oppure in [0, +inf[. Posto infatti y = f(x), per x]-1, 0] <!-- BBCode Start --><I>aut</I><!-- BBCode End --> x€[0, +inf[, è sufficiente risolvere in x l\'equazione così determinata e scambiare quindi formalmente \"y\" con \"x\", onde ottenere (come sperato...) l\'espressione della soluzione, rispettivamente, sull\'intervallo <!-- BBCode Start --><I>complementare</I><!-- BBCode End --> (mi si passi la leggera imprecisione...) [0, +inf[ <!-- BBCode Start --><I>aut</I><!-- BBCode End --> ]-1, 0].
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Passo ix): per ogni x,y€S: f(x + y + xy) = f(x) + f(y) + f(x)*f(y).</B><!-- BBCode End -->
<BR>Dim.: siano u,v€S. Assunto x = u ed y = f(v), com\'è lecito, in corrispondenza della (1), si trova evidentemente che:
<BR>
<BR>f(u + f(f(v)) + u*f(f(v))) = f(u + v + u*v) = f(u) + f(v) + f(u)*f(v)
<BR>
<BR>a patto di rilevare che, coerentemente con la v): f(f(v)) = v. Di qui la tesi, pur di considerare che, nelle relazioni precedenti, u e v sono variabili mute, e pertanto possono essere rinominate a piacimento senza tuttavia che ciò ne alteri la generale consistenza, q.e.d.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 14-01-2004 12:54 ]
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Malaussene
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Messaggio da Malaussene » 01 gen 1970, 01:33

Ehm..scusa la domanda, ma dov\'e\' la soluzione?

euler_25
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Messaggio da euler_25 » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-01-13 12:31, Malaussene wrote:
<BR>Ehm..scusa la domanda, ma dov\'e\' la soluzione?
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Arriva, non aver fretta!!!
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euler_25
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Messaggio da euler_25 » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Start --><B>Passo x): per ogni x€S: f(2x + x<sup>2</sup>) = 2f(x) + [f(x)]<sup>2</sup>.</B><!-- BBCode End -->
<BR>Dim.: è banale. Basta assumere in corrispondenza della ix): x = y, per ogni x€S, e quindi trarne evidentemente l\'asserto, q.e.d.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Nota 2</B><!-- BBCode End -->: è giusto per snellire un po\' il linguaggio... diremo nel seguito che un certo x<sub>0</sub>€T, ove T è un qualsivoglia sottoinsieme non vuoto di S, è un <!-- BBCode Start --><I>punto fisso</I><!-- BBCode End --> per f(-) in T, se (e soltanto se) f(x<sub>0</sub>) = x<sub>0</sub>. Tutto qui!
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Passo xi): f(-) ammette <!-- BBCode Start --><I>al più</I><!-- BBCode End --> un unico punto fisso in ]-1, 0[.</B><!-- BBCode End -->
<BR>Dim.: per assurdo, assumiamo che esistano x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>€]-1, 0[, con x<sub>1</sub> != x<sub>2</sub>, tali che: f(x<sub>1</sub>) = x<sub>1</sub> ed f(x<sub>2</sub>) = x<sub>2</sub>; ovvero che f(-) possa ammettere più di un punto fisso relativamente all\'intervallo ]-1, 0[. In tal caso, evidentemente:
<BR>
<BR>f(x<sub>1</sub>)/x<sub>1</sub> = f(x<sub>2</sub>)/x<sub>2</sub> = 1
<BR>
<BR>e ciò è assurdo! Difatti, poiché x<sub>1</sub> != x<sub>2</sub> e tuttavia x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>€]-1,0[, si può sempre supporre (senza essere peraltro lesivi di generalità): - 1 < x<sub>1</sub> < x<sub>2</sub> < 0; onde dedurne dover essere, stante la condizione (2):
<BR>
<BR>f(x<sub>1</sub>)/x<sub>1</sub> < f(x<sub>2</sub>)/x<sub>2</sub> ==> 1 < 1
<BR>
<BR>il che è palesemente assurdo! La contraddizione nasce dall\'aver negato la sussistenza della tesi, e induce di converso ad asserirne la generale consistenza, q.e.d.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Passo xii): f(-) ammette <!-- BBCode Start --><I>al più</I><!-- BBCode End --> un unico punto fisso in ]0, +inf[.</B><!-- BBCode End -->
<BR>Dim.: omessa. Si deduce per via di argomentazioni del tutto analoghe a quelle fornite nella dimostrazione della xi).
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Passo xiii): f(-) non ammette <!-- BBCode Start --><I>alcun</I><!-- BBCode End --> punto fisso in ]-1, 0[.</B><!-- BBCode End -->
<BR>Dim.: per assurdo, ammettiamo possa esistere un x<sub>0</sub>€]-1,0[ tal che: f(x<sub>0</sub>) = x<sub>0</sub>. In tal caso, assunto x = x<sub>0</sub> in corrispondenza della x), ne fa seguito che:
<BR>
<BR>f(2x<sub>0</sub> + x<sub>0</sub><sup>2</sup>) = 2f(x<sub>0</sub>) + [f(x<sub>0</sub>)]<sup>2</sup> = 2x<sub>0</sub> + x<sub>0</sub><sup>2</sup> ...........(3)
<BR>
<BR>D\'altro canto, è pur vero che, se x<sub>0</sub>€]-1,0[: -1 < 2x<sub>0</sub> + x<sub>0</sub><sup>2</sup> < 0... provare per credere! Per la (3), tanto è allora sufficiente per poter stabilire che y<sub>0</sub> := 2x<sub>0</sub> + x<sub>0</sub><sup>2</sup> è anch\'esso un punto fisso per f(-) in ]-1, 0[, come del resto x<sub>0</sub> (per ipotesi). Ora tuttavia, per la xi), è noto che f(-) risulta al più dotata di un <!-- BBCode Start --><I>unico</I><!-- BBCode End --> punto fisso in ]-1,0[, e pertanto dovrà essere:
<BR>
<BR>y<sub>0</sub> = x<sub>0</sub> ==> 2x<sub>0</sub> + x<sub>0</sub><sup>2</sup> = x<sub>0</sub> ==> x<sub>0</sub>*(1 + x<sub>0</sub>) = 0 ==> x<sub>0</sub> = 0 <!-- BBCode Start --><I>vel</I><!-- BBCode End --> x<sub>0</sub> = -1
<BR>
<BR>ciò che palesemente è assurdo, dacché si ammette - 1 < x<sub>0</sub> < 0! La contraddizione, insorta dall\'aver negato la sussistenza della tesi, induce conversamente a concludere che f(-) non possiede alcun punto fisso in ]-1, 0[, q.e.d.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Passo xiv): f(-) non ammette <!-- BBCode Start --><I>alcun</I><!-- BBCode End --> punto fisso in ]0, +inf[.</B><!-- BBCode End -->
<BR>Dim.: omessa. Si deduce per via di argomentazioni del tutto analoghe a quelle fornite nella dimostrazione della xiii).
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Nota 3</B><!-- BBCode End -->: riassumendo quanto stabilito ai punti iv), xiii) e xiv), se ne conclude che: f(x<sub>0</sub>) = 0 se e soltanto se x<sub>0</sub> = 0.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Passo xv): per ogni x€]0, +inf[: - 1 < f(x) < 0.</B><!-- BBCode End -->
<BR>Dim.: per assurdo, esista un x<sub>0</sub>€]0, +inf[ tale che: f(x<sub>0</sub>) ≥ 0. Ora, sulla base della condizione riassunta nella nota 4): f(x<sub>0</sub>) != 0, poiché si ammette x<sub>0</sub> != 0; dunque dovrà aversi necessariamente: f(x<sub>0</sub>) > 0 e d\'altra parte: f(x<sub>0</sub>) != x<sub>0</sub>. Ragioniamo allora come segue:
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><I>1° caso</I><!-- BBCode End -->: 0 < f(x<sub>0</sub>) < x<sub>0</sub>. In quest\'assunzione, posto x = f(x<sub>0</sub>) ed y = x<sub>0</sub> in corrispondenza della (2), si trova dover essere, per la v):
<BR>
<BR>x<sub>0</sub>/f(x<sub>0</sub>) = f(f(x<sub>0</sub>))/f(x<sub>0</sub>) < f(x<sub>0</sub>)/x<sub>0</sub> ==> [f(x<sub>0</sub>)/x<sub>0</sub>]<sup>2</sup> > 1 ==>
<BR>
<BR>==> f(x<sub>0</sub>)/x<sub>0</sub> > 1 ==> f(x<sub>0</sub>) > x<sub>0</sub>
<BR>
<BR>contro l\'ipotesi secondo cui: 0 < f(x<sub>0</sub>) < x<sub>0</sub>. Assurdo!
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><I>2° caso</I><!-- BBCode End -->: 0 < x<sub>0</sub> < f(x<sub>0</sub>). In questa seconda evenienza, posto x = x<sub>0</sub> ed y = f(x<sub>0</sub>) in corrispondenza della (2), si trova dover essere, di nuovo per la v):
<BR>
<BR>f(x<sub>0</sub>)/x<sub>0</sub> < f(f(x<sub>0</sub>))/f(x<sub>0</sub>) = x<sub>0</sub>/f(x<sub>0</sub>) ==> [f(x<sub>0</sub>)/x<sub>0</sub>]<sup>2</sup> < 1 ==>
<BR>
<BR>==> f(x<sub>0</sub>)/x<sub>0</sub> < 1 ==> f(x<sub>0</sub>) < x<sub>0</sub>
<BR>
<BR>contro l\'ipotesi secondo cui: 0 < x<sub>0</sub> < f(x<sub>0</sub>). Ancora assurdo!
<BR>
<BR>La contraddizione, insorta dall\'aver supposto che potesse esiste un x<sub>0</sub> > 0 tal da essere: f(x<sub>0</sub>) ≥ 0, induce di converso a concludere che: f(x) < 0, per ogni x€S. E poiché del resto: f(x)€S, per ogni x€S, tanto è sufficiente per concludere che: - 1 < f(x) < 0, per ogni x€]0, +inf[, q.e.d.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Passo xvi): per ogni x€]-1, 0[: f(x) > 0.</B><!-- BBCode End -->
<BR>Dim.: omessa. Si deduce per via di argomentazioni del tutto analoghe a quelle fornite nella dimostrazione della xv).
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Passo xvii): f(]-1, 0[) = ]0, +inf[.</B><!-- BBCode End -->
<BR>Dim.: si tratta di mostrare che, per ogni x€]-1, 0[: f(x)€]0, +inf[; e viceversa che, per ogni y€]0, +inf[, esiste un x€]-1, 0[ tale che: y = f(x). La prima condizione consegue direttamente dalla xvi). Per la seconda, si consideri che, comunque scelto un y€]0, +inf[, giusta la suriettività della f(-) in S, esiste almeno un x€S tale che: f(x) = y. Del resto, non può essere x€[0, +inf[, poiché altrimenti si avrebbe: - 1 < f(x) ≤ 0, ovvero: - 1 < y ≤ 0, in accordo alle ulteriori condizioni espresse in iv) e xv). Dunque un assurdo, poiché si è assunto y€]0, +inf[. Ne segue per contraddizione: x€]-1, 0[, e ciò completa evidentemente la dimostrazione dell\'asserto, q.e.d.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Passo xviii): f(]0, +inf[) = ]-1, 0[.</B><!-- BBCode End -->
<BR>Dim.: omessa. Si deduce per via di argomentazioni del tutto analoghe a quelle fornite nella dimostrazione della xvii).
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>A domani per il resto... buonanotte!</B><!-- BBCode End --><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 14-01-2004 11:03 ]
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euler_25
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Messaggio da euler_25 » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Start --><B>Nota sqrt(25)</B><!-- BBCode End -->: da iv), xvii) e xviii), possiamo dunque concludere (in sintesi) che:
<BR>f(x) < 0 <=> x > 0; f(x) = 0 <=> x =0; f(x) > 0 <=> -1 < x < 0.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Passo xix)</B><!-- BBCode End -->: per ogni x<sub>0</sub>€S: f(x<sub>0</sub>) = -f(-x<sub>0</sub>/(1 + x<sub>0</sub>))/[1 + f(-x<sub>0</sub>/(1 + x<sub>0</sub>))] =
<BR>= -1 + 1/[1 + f(-x<sub>0</sub>/(1 + x<sub>0</sub>))].
<BR>Dim.: se x<sub>0</sub>€S, allora: x<sub>0</sub> + 1 != 0, sicché può definirsi correttamente in R il punto y<sub>0</sub> := -x<sub>0</sub>/(1 + x<sub>0</sub>). E d\'altra parte, essendo x<sub>0</sub>€S, è immediato stabilire parimenti che lo stesso y<sub>0</sub> è appartenente ad S, perciocché <!-- BBCode Start --><I>ha senso</I><!-- BBCode End --> valutare il valore che la f(-) assume in corrispondenza d\'un siffatto punto. Ora, d\'altro canto:
<BR>
<BR>x<sub>0</sub> + y<sub>0</sub> +x<sub>0</sub>*y<sub>0</sub> = x<sub>0</sub> - x<sub>0</sub>/(1 + x<sub>0</sub>) - x<sub>0</sub><sup>2</sup>/(1 + x<sub>0</sub>) = ... = 0
<BR>
<BR>donde dedurne, fissando x = x<sub>0</sub> ed y = y<sub>0</sub> in corrispondenza della ix):
<BR>
<BR>0 = [Dalla iv)] = f(0) = f(x<sub>0</sub> + y<sub>0</sub> + x<sub>0</sub>*y<sub>0</sub>) = f(x<sub>0</sub>) + f(y<sub>0</sub>) + f(x<sub>0</sub>)*f(y<sub>0</sub>) =
<BR>
<BR>= f(x<sub>0</sub>) + f(-x<sub>0</sub>/(1 + x<sub>0</sub>)) + f(x<sub>0</sub>)*f(-x<sub>0</sub>/(1 + x<sub>0</sub>)) =
<BR>
<BR>= f(-x<sub>0</sub>/(1 + x<sub>0</sub>)) + f(x<sub>0</sub>)*[1 + f(-x<sub>0</sub>/(1 + x<sub>0</sub>))] ==>
<BR>
<BR>==> f(x<sub>0</sub>)*[1 + f(-x<sub>0</sub>/(1 + x<sub>0</sub>))] = - f(-x<sub>0</sub>/(1 + x<sub>0</sub>)) ==>
<BR>
<BR>==> f(x<sub>0</sub>) = -f(-x<sub>0</sub>/(1 + x<sub>0</sub>))/[1 + f(-x<sub>0</sub>/(1 + x<sub>0</sub>))] = -1 + 1/[1+f(-x<sub>0</sub>/(1 + x<sub>0</sub>))]
<BR>
<BR>a patto di considerare che, per ogni x€S: f(x) + 1 > 0, e quindi in particolare:
<BR>1 + f(-x<sub>0</sub>/(1 + x<sub>0</sub>)) != 0, q.e.d.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Passo xx)</B><!-- BBCode End -->: per ogni x<sub>0</sub>€]0, +inf[: f(-x<sub>0</sub>/(1+x<sub>0</sub>)) = x<sub>0</sub>.
<BR>Dim.: sia x<sub>0</sub>€]0, +inf[. Allora evidentemente, posto y<sub>0</sub> := -x<sub>0</sub>/(1+x<sub>0</sub>): - 1 < y<sub>0</sub> < 0, e dunque <!-- BBCode Start --><I>ha senso</I><!-- BBCode End --> valutare l\'immagine secondo f(-) di un siffatto punto. In particolare, stante la xvii), si avrà di certo: f(y<sub>0</sub>) > 0. Ora, ammettiamo per assurdo che sia: f(-x<sub>0</sub>/(1 + x<sub>0</sub>)) != x<sub>0</sub>. Poiché si sta pur sempre operando in ambito reale, non potrà pertanto che verificarsi una fra le due seguenti alternative:
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><I>1° caso</I><!-- BBCode End -->: 0 < f(-x<sub>0</sub>/(1 + x<sub>0</sub>)) < x<sub>0</sub>. In quest\'assunzione, evidentemente:
<BR>
<BR>1 < 1 + f(-x<sub>0</sub>/(1 + x<sub>0</sub>)) < 1 + x<sub>0</sub> ==> [Passando ai reciproci] ==>
<BR>
<BR>==> 1/[1 + f(-x<sub>0</sub>/(1 + x<sub>0</sub>))] > 1/(1 + x<sub>0</sub>) > 0 ==> [Dalla xix)] ==>
<BR>
<BR>==> f(x<sub>0</sub>) = - 1 + 1/[1+f(-x<sub>0</sub>/(1 + x<sub>0</sub>))] > -1+1/(1+x<sub>0</sub>) = -x<sub>0</sub>/(1+x<sub>0</sub>)
<BR>
<BR>E d\'altra parte, poiché x<sub>0</sub> > 0, in base alla xviii): f(x<sub>0</sub>) < 0, e perciò:
<BR>
<BR>-x<sub>0</sub>/(1 + x<sub>0</sub>) < f(x<sub>0</sub>) < 0 ==> 0 < |f(x<sub>0</sub>)| < x<sub>0</sub>/(1 + x<sub>0</sub>) ==>
<BR>
<BR>==> x<sub>0</sub>/[(1 + x<sub>0</sub>)*|f(x<sub>0</sub>)|] > 1 ..........(4)
<BR>
<BR>Di qui, stante la condizione espressa dalla (2), si deduce dover essere:
<BR>
<BR>f(-x<sub>0</sub>/(1 + x<sub>0</sub>))/[-x<sub>0</sub>/(1 + x<sub>0</sub>)] < f(f(x<sub>0</sub>))/f(x<sub>0</sub>) = [Per la v)] = x<sub>0</sub>/f(x<sub>0</sub>) ==>
<BR>
<BR>f(-x<sub>0</sub>/(1 + x<sub>0</sub>)) > -x<sub>0</sub><sup>2</sup>/[(1 + x<sub>0</sub>)*f(x<sub>0</sub>)] = x<sub>0</sub><sup>2</sup>/[(1 + x<sub>0</sub>)*|f(x<sub>0</sub>)|]
<BR>
<BR>ove si invertito il verso della disequazione per via del fatto di aver moltiplicato ai suoi due membri per il fattore di segno negativo -x<sub>0</sub>/(1 + x<sub>0</sub>) e si è quindi sfruttata la relazione secondo cui: |f(x<sub>0</sub>)| = -f(x<sub>0</sub>), poiché f(x<sub>0</sub>) < 0. Di qui, utilizzando la (4), fa seguito che:
<BR>
<BR>f(-x<sub>0</sub>/(1 + x<sub>0</sub>)) > x<sub>0</sub><sup>2</sup>/[(1 + x<sub>0</sub>)*|f(x<sub>0</sub>)|] > x<sub>0</sub>
<BR>
<BR>e ciò è palesemente assurdo, poiché si è supposto 0 < f(-x<sub>0</sub>/(1 + x<sub>0</sub>)) < x<sub>0</sub>.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><I>2° caso</I><!-- BBCode End -->: 0 < x<sub>0</sub> < f(-x<sub>0</sub>/(1 + x<sub>0</sub>)). In questa seconda assunzione, com\'è evidente:
<BR>
<BR>0 < 1 + x<sub>0</sub> < 1 + f(-x<sub>0</sub>/(1 + x<sub>0</sub>)) ==> [Passando ai reciproci] ==>
<BR>
<BR>==> 0 < 1/[1 + f(-x<sub>0</sub>/(1 + x<sub>0</sub>))] < 1/(1 + x<sub>0</sub>) ==> [Dalla xix)] ==>
<BR>
<BR>==> f(x<sub>0</sub>) = - 1 + 1/[1+f(-x<sub>0</sub>/(1 + x<sub>0</sub>))] < -1+1/(1+x<sub>0</sub>) = -x<sub>0</sub>/(1+x<sub>0</sub>)
<BR>
<BR>E dacché del resto x<sub>0</sub> > 0, in base alla xviii): f(x<sub>0</sub>) < 0, e perciò:
<BR>
<BR>-1 < f(x<sub>0</sub>) < -x<sub>0</sub>/(1 + x<sub>0</sub>) ==> x<sub>0</sub>/(1 + x<sub>0</sub>) < |f(x<sub>0</sub>)| < 1 ==>
<BR>
<BR>==> 0 < x<sub>0</sub>/[(1 + x<sub>0</sub>)*|f(x<sub>0</sub>)|] < 1 ..........(5)
<BR>
<BR>Di qui, stante la condizione espressa dalla (2), si deduce dover essere:
<BR>
<BR>x<sub>0</sub>/f(x<sub>0</sub>) = [Per la v)] = f(f(x<sub>0</sub>))/f(x<sub>0</sub>) < f(-x<sub>0</sub>/(1 + x<sub>0</sub>))/[-x<sub>0</sub>/(1 + x<sub>0</sub>)] ==>
<BR>
<BR>f(-x<sub>0</sub>/(1 + x<sub>0</sub>)) < -x<sub>0</sub><sup>2</sup>/[(1 + x<sub>0</sub>)*f(x<sub>0</sub>)] = x<sub>0</sub><sup>2</sup>/[(1 + x<sub>0</sub>)*|f(x<sub>0</sub>)|]
<BR>
<BR>ove si invertito il verso della disequazione per via del fatto di aver moltiplicato ai suoi due membri per il fattore di segno negativo -x<sub>0</sub>/(1 + x<sub>0</sub>) e si è quindi sfruttata la relazione secondo cui: |f(x<sub>0</sub>)| = -f(x<sub>0</sub>), poiché f(x<sub>0</sub>) < 0. Di qui, utilizzando la (5), seguita che:
<BR>
<BR>f(-x<sub>0</sub>/(1 + x<sub>0</sub>)) < x<sub>0</sub><sup>2</sup>/[(1 + x<sub>0</sub>)*|f(x<sub>0</sub>)|] < x<sub>0</sub>
<BR>
<BR>ciò che palesemente è assurdo, poiché si è supposto x<sub>0</sub> < f(-x<sub>0</sub>/(1 + x<sub>0</sub>)).
<BR>
<BR>L\'assurdo, nato dall\'aver negato la consistenza della tesi, induce a concludere (per contraddizione) che, per ogni x<sub>0</sub>€S, necessariamente: f(-x<sub>0</sub>/(1+x<sub>0</sub>)) = x<sub>0</sub>, q.e.d.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Passo xxi)</B><!-- BBCode End -->: f(-) è monotona (strettamente) decrescente in S.
<BR>Dim.: omessa, perché assolutamente inutile nella logica della soluzione proposta! Mi serve inserirla soltanto per far quadrare <!-- BBCode Start --><I>certi conti</I><!-- BBCode End -->... in ogni caso, per chi volesse dilettarsi...
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Passo xxii)</B><!-- BBCode End -->: f(-) è monotona (strettamente) decrescente in S.
<BR>Dim.: omessa, per le stesse ragioni di cui al passo precedente!!!
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Passo xxiii)</B><!-- BBCode End -->: per ogni x€]0, +inf[: f(x) = -x/(1+x).
<BR>Dim.: dalla xx), comunque fissato un x€]0, +inf[, risulta che: f(-x/(1 + x)) = x, e dunque (com\'è lecito stimare): f(x) = f(f(-x/(1 + x))) = (-x/(1 + x)), pur di sfruttare la proprietà v) d\'idempotenza della f(-), q.e.d.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Passo xxiv)</B><!-- BBCode End -->: per ogni x€]-1, 0[: f(x) = -x/(1+x).
<BR>Dim.: sia x€]-1, 0[. Per la xviii), esiste allora un y€]0, +inf[ tal che: f(y) = x, ovvero: y = [Per la v)] = f(f(y)) = f(x). Del resto, dalla xxiii): f(y) = -y/(1+y), per dunque risultare:
<BR>
<BR>-y/(1+y) = x ==> x + xy + y = 0 ==> y = f(x) = -x/(1+x), q.e.d.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Passo Euler_25)</B><!-- BBCode End -->: per ogni x€S: f(x) = -x/(1+x).
<BR>Dim.: segue per ispezione diretta, ponendo S = ]-1,0[ U {0} U ]0, +inf[ e utilizzando di conseguenza i risultati parziali espressi dalle relazioni iv), xxiii) e xxiv), q.e.d.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Conclusioni</B><!-- BBCode End -->: sulla base delle considerazioni proposte, si è dedotto che l\'unica <!-- BBCode Start --><I>eventuale</I><!-- BBCode End --> soluzione della funzionale di Hong-Kong 1994 si ottiene ponendo
<BR>f(x) := -x/(1+x), per ogni x€S. A questo punto, per verificare che la f(-) così definita risolve <!-- BBCode Start --><I>effettivamente</I><!-- BBCode End --> il problema di cui qui si è discusso è necessario e sufficiente sostituirne mostrare, per sostituzione diretta, che essa soddisfa le condizioni originariamente poste!!! E con questo, penso proprio di potermi fermar qui... Anti, altrimenti, mi rimprovera d\'essere un tantino logorroico... non è un tesoro? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 14-01-2004 15:06 ]
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Messaggio da dieciottantunesimi » 01 gen 1970, 01:33

Che figata madornale, madoooo!
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Messaggio da dieciottantunesimi » 01 gen 1970, 01:33

Però ora sbrigati perchè la stai facendo un pò troppo lunga: se non trovo una soluzione entro le 14 di oggi, ce la metto io una, sperando che non sia sbagliata.[addsig]
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Messaggio da euler_25 » 01 gen 1970, 01:33

Non farmi fretta, la soluzione è già pronta!!! E\' solo che questi stronzi dei miei compagni di appartamento hanno messo sottosopra le mie carte... \'sti fitusi!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 14-01-2004 15:07 ]
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Messaggio da dieciottantunesimi » 01 gen 1970, 01:33

Facciamo così:
<BR><font color=white>
<BR>Ponendo x=y=0 nella condizione (1), abbiamo f(f(0)) = f(0) e per tanto f(f(f(0))) = f(f(0)) = f(0).
<BR>Se x=0, abbiamo f(f(y)) = f(0)(1+x)+y. Ponendo y=f(0) nell\'ultima equazione, abbiamo f(f(f(0))) = f(0) (1+f(0)) +f(0) = f(0)
<BR>=> f(0)(1+f(0))=0
<BR>=> f(0)=0 o f(0)=-1 non in S
<BR>=> f(0).
<BR>Ora dimostriamo che l\'unico punto fisoo di f è 0.
<BR>Nell\'intervallo x>0, la funzione f(x)/x è crescente, per cui può assumere il valore 1 al massimo una volta. Quindi in (0, inf) c\'è al massimo un punto fisso.
<BR>Analogamente, nell\'intervallo (-1,0), c\'è al massimo un punto fisso. Supponiamo che un x>0 sia un punto fisso, vale a dire che f(x)=0.
<BR>Ma mettendo y=x nella condizioneoriginale otteniamo che
<BR>x+f(x)+xf(x) è lo stesso un punto fisso.
<BR>f(x+f(x)+xf(x))=x+f(x)+xf(x)=2x+x<sup>2</sup>.
<BR>Siccome x<sup>2</sup> + 2x > 0 e c\'è al massimo un punto fisso, si ha che x=x<sup>2</sup> + 2x.
<BR>se x è in (-1,0) ed è un punto fisso, x+2>1>0 e per tanto x(x+2)<0. Quindi anche in questo caso x= x<sup>2</sup> + 2x. Risolvendo l\'equazione abbiamo che x=0 perchè x=-1 non appartiene ad S.
<BR>siccome x+f(x)+xf(x) è un punto fisso per ogni x di S, abbiamo
<BR>x+f(x)+xf(x)=0. Ovvero, (1+x)(1+f(x))=1+x+f(x)+xf(x)=1.
<BR>Per tanto f(x) = (1/(1+x)) - 1 = -x/(1+x)
<BR>Per finire, basta verificare che tale funzione soddisfa le condizioni del problema
<BR>f(x+f(y)+xf(x))=f((1+x)(1+f(y))-1)=1/((1+x)(1+f(y))) - 1=
<BR>= (1+f(x))(1+y)-1=y+f(x)+yf(x).
<BR>Per x>-1 => 1+x>0 => 1/(1+x) - 1 > -1
<BR>con cui dimostriamo che f è ben definita.
<BR>In più (f(x))/x = -1/(1+x)
<BR>la quale è strettamente crescente negli intervalli (-1,0) e (0,inf).
<BR>Da questa forma si dimostra che f(x)= -x/(1+x) è l\'unica funzione STRAGANZIALE!!!!
<BR></font>[addsig]
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Messaggio da euler_25 » 01 gen 1970, 01:33

10/81! Adesso ho capito chi sei... soltanto non so ancora dimostrarlo!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
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Ospite

Messaggio da Ospite » 01 gen 1970, 01:33

eccomi, ero stata io a chiedere ad euler una soluzione a questo imo, mentre aspettavo la sua versione, sono riuscita a risolvere il problema da sola..
<BR>
<BR>adesso vi beccate pure la mia!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR>
<BR>diciamo che f(a) = a
<BR>adesso mettendo x = y = a nella relazione di partenza troviamo che f(b) = b in cui b = 2a + a^2
<BR>se -1 < a < 0 allora -1 < b < a
<BR>pero\' f(a)/a = f(b)/b : questo contraddice le altre cose
<BR>analogamente se a > 0 allora b > a
<BR>ma f(a)/a = f(b)/b : altra contraddizione
<BR>quindi abbiamo a = 0
<BR>
<BR>ma mettendo x = y nella relazione data abbiamo f(k) = k per k = x + f(x) + xf(x)
<BR>quindi per ogni x abbiamo x + f(x) + xf(x) = 0 ossia f(x) = -x/(x+1)
<BR>
<BR>quindi si deduce che f(x) = -x(x+1) soddisfa le due condizioni date
<BR>
<BR>bah...e\' molto simile alle altre due ma l\'approccio e\' un po\' differente (o forse no..) uff..
<BR>ciao
<BR>-f-[addsig]

euler_25
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Messaggio da euler_25 » 01 gen 1970, 01:33

Semplicemente geniale!!! Francy, mi daresti delle IMO-ripetizioni <!-- BBCode Start --><I>private</I><!-- BBCode End -->? Non so se capisci quel che intendo... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
<BR>
<BR>P.S.: t\'imploro, non dirmi di no... <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 14-01-2004 17:04 ]
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Ospite

Messaggio da Ospite » 01 gen 1970, 01:33

no

euler_25
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Messaggio da euler_25 » 01 gen 1970, 01:33

Sei crudele... poco male!!! Ti punirò là dove più ribolle la tua lussuria... son parole di D\'Annunzio, io me ne lavo le mani!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
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mola6
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Messaggio da mola6 » 01 gen 1970, 01:33

euler...rendi pubblica la vera identità di 10/81!! o almeno mandami un pm![addsig]
"Per perdere la testa, bisogna innanzi tutto averne una!" A. Einstein

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