Inviato: 01 gen 1970, 01:33
Ben ritrovati a tutti, innanzitutto! E allora... prima che mi congedassi da voi per dedicarmi animo, anima e corpo al mio trasloco verso le più alte latitudine... diciamo così... qualcuno (ma_go o forse franc_... sinceramente, non lo ricordo... ché d\'altro canto, è successo giovedì o venerdì scorso... ovvero a dirsi, quasi 20 teoremi fa...) mi chiese di dare un\'occhiata alla funzionale inclusa fra i temi delle IMO di Hong Kong 1994, datosi che (così mi è parso almeno di capire) vi era in corso una disputa in chat circa la presunta correttezza di una certa soluzione di ma_go (che tuttora disconosco) al quesito di cui sopra ho detto. Ebbene, un\'occhiata gliel\'ho data volentieri e vorrei riproporre qui sul forum le considerazioni che sono riuscito a tirar fuori, con la speranza che qualcuno sappia trarne giovamento, forte della convinzione che le funzionali (anche a basso livello) rientrano a pieno titolo nel novero dei problemi più ostici e interessanti che la Matematica sia in grado di offrire! Ciò detto, forza e coraggio e... cominciamo.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><I>In primis</I><!-- BBCode End -->, richiamiamo la traccia del problema (traduco letteralmente dal testo originale in inglese):
<BR>
<BR>Sia S l\'insieme dei numeri reali (strettamente) maggiori di -1. Determinare tutte le funzioni f: S --> S che soddisfano le due condizioni:
<BR>1) f(x + f(y) + x*f(y)) = y + f(x) + y*f(x), per ogni x,y€S;
<BR>2) f(x)/x è strettamente crescente su ciascuno degli intervalli -1<x<0 ed x>0.
<BR>
<BR>Questo il problema! Vediamo di procedere nella sua risoluzione...
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Passo i): per ogni x€S: f(f(x)) = x + f(0) + x*f(0).</B><!-- BBCode End -->
<BR>Dim.: è banale. Basta utilizzare la condizione espressa dalla (1), assumendo x = 0 ed y arbitrariamente variabile in S, donde ottenere:
<BR>
<BR>f(f(y)) = f(0 + f(y) + 0*f(y)) = y + f(0) + y*f(0)
<BR>
<BR>da cui l\'asserto, a patto di considerare che y è una variabile muta in seno alla relazione precedente, e pertanto può essere rinominata <!-- BBCode Start --><I>ad libitum</I><!-- BBCode End -->, senza che ciò alteri tuttavia la <!-- BBCode Start --><I>sostanza</I><!-- BBCode End --> della identità stabilita, q.e.d.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Passo ii): f(-) è iniettiva in S.</B><!-- BBCode End -->
<BR>Dim.: per assurdo, ammettiamo che f(-) <!-- BBCode Start --><I>non sia</I><!-- BBCode End --> iniettiva in S. Allora, secondo definizione, dovranno esistere almeno due punti x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub>€S, con x<sub>1</sub> != x<sub>2</sub>, tali che:
<BR>f(x<sub>1</sub>) = f(x<sub>2</sub>). Onde dedurne, particolarizzando la i) per x = x<sub>1</sub> ed x = x<sub>2</sub>, che:
<BR>
<BR>f(f(x<sub>1</sub>)) = x<sub>1</sub> + f(0) + x<sub>1</sub>*f(0)
<BR>f(f(x<sub>2</sub>)) = x<sub>2</sub> + f(0) + x<sub>2</sub>*f(0)
<BR>
<BR>E poiché si suppone: f(x<sub>1</sub>) = f(x<sub>2</sub>), tanto è sufficiente per concludere (per transitività) che:
<BR>
<BR>x<sub>1</sub> + f(0) + x<sub>1</sub>*f(0) = x<sub>2</sub> + f(0) + x<sub>2</sub>*f(0) ==> (1 + f(0))*x<sub>1</sub> = (1 + f(0))*x<sub>2</sub>
<BR>
<BR>D\'altro canto, per la natura di ogni eventuale soluzione alla funzionale di cui qui si discute: f(x) > -1, ovvero: f(x) + 1 > 0, per qualsivoglia x€S. <!-- BBCode Start --><I>Ergo</I><!-- BBCode End -->, in particolare: 1 + f(0) != 0, e pertanto è lecito quozientare per questa medesima quantità i due membri della relazione ultima sopra indicata, quinci ottenere che:
<BR>
<BR>(1 + f(0))*x<sub>1</sub> = (1 + f(0))*x<sub>2</sub> ==> x<sub>1</sub> = x<sub>2</sub>
<BR>
<BR>e ciò è assurdo, dacché si è assunto conversamente che x<sub>1</sub> ed x<sub>2</sub> fossero punti distinti in S. L\'assurdo, insorto dall\'aver negato la consistenza della tesi qui dibattuta, induce a concluder di converso che f(-) è una funzione iniettiva in S, q.e.d.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Passo iii): per ogni x€S: f(x + f(0) + x*f(0)) = f(x).</B><!-- BBCode End -->
<BR>Dim.: è banale. Basta utilizzare la condizione espressa dalla (1), assumendo y = 0 ed x arbitrariamente variabile in S, donde ottenere:
<BR>
<BR>f(x + f(0) + x*f(0)) = 0 + f(x) + 0*f(x) = f(x)
<BR>
<BR>da cui (evidentemente) l\'asserto, q.e.d.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Passo iv): f(0) = 0.</B><!-- BBCode End -->
<BR>Dim.: dalle proprietà generali d\'ogni possibile soluzione al problema qui preso allo studio: f(x) > -1, ovvero: f(x) + 1 > 0, per ogni x€S, come già è stato detto. Dunque, in particolare: 1 + f(0) != 0, è quindi <!-- BBCode Start --><I>licet</I><!-- BBCode End --> definire in R il punto x<sub>0</sub> := - f(0)/[1 + f(0)]. Osservando poi che, qualunque sia f(0)€S: x<sub>0</sub> > -1. Cosicché, fissando x = x<sub>0</sub> in corrispondenza della iii) e considerando che: x<sub>0</sub> + f(0) + x<sub>0</sub>*f(0) = 0, si conclude dover essere:
<BR>
<BR>f(0) = f(x<sub>0</sub>) := f(- f(0)/[1 + f(0)]) ==> [Per l\'iniettività] ==> 0 = - f(0)/[1 + f(0)]
<BR>
<BR>onde ottenerne in definitiva: f(0) = 0, q.e.d.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Passo v): f(-) è idempotente, ovvero: f(f(x)) = x, per ogni x€S.</B><!-- BBCode End -->
<BR>Dim.: è banale, a questo punto... Difatti, sulla base delle condizioni espresse dalle relazioni i) e iv), risulta che:
<BR>
<BR>p.o. x€S: f(f(x)) = x + f(0) + x*f(0) = x + 0 + x*0 = x, q.e.d.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Passo vi): f(-) è suriettiva in S.</B><!-- BBCode End -->
<BR>Dim.: in linea di principio, si tratta di provare che, comunque fissato un punto y nel codominio della f(-), esiste un ulteriore punto x nel dominio della medesima funzione tal che: f(x) = y. E poiché dominio e codominio della f(-) coincidono in S, ciò si riduce (nel nostro caso specifico) a dimostrare che, per ogni y€S, esiste un x€S per cui: f(x) = y. E ciò è banale, quantomeno a questo punto... Difatti, dalla v), per ogni y€S: f(f(y)) = y, pur di considerare che la x in corrispondenza della citata relazione è una variabile muta, e come tale può essere rinominata a piacere, senza che ciò alteri tuttavia la <!-- BBCode Start --><I>sostanza</I><!-- BBCode End --> della identità stabilita. Di qui, considerando (del resto) che, per ogni y€S: f(y)€S, se ne trae che, per ogni y€S, esiste un x€S, essendo x := f(y), tale per cui: f(x) = y, perciocché (secondo definizione) f(-) è una funzione suriettiva in S, q.e.d.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Passo vii): f(-) realizza una corrisponde biunivoca da S in S.</B><!-- BBCode End -->
<BR>Dim.: è banale, a questo punto... E\' sufficiente difatti rammentare che una funzione arbitraria g(-): X --> Y è bigettiva da X in Y se e soltanto se essa è iniettiva in X e suriettiva in Y; donde dedurre la consistenza della tesi sulla base delle condizioni espresse in ii) e vi) relativamente alla f(-), q.e.d.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Passo viii): riportato il grafico della f(-) su un sistema di assi cartesiani ortonormali Oxy, f(-) risulta simmetrica rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.</B><!-- BBCode End -->
<BR>Dim.: si tratta di mostrare che, comunque fissato un x€S:
<BR>
<BR>(x, f(x))€graf{f(-)} ==> (f(x), x)€graf{f(-)}
<BR>
<BR>E ciò è banale, almeno a questo punto... Difatti, se (x, f(x)) è un punto generico sul grafico della f(-), allora - a seguito della v): f(f(x)) = x, e pertanto:
<BR>(f(x), x)€graf{f(-)}. Da cui l\'asserto, pur di generalizzare sull\'arbitrarietà di scelta dell\'x€S cui le argomentazioni precedenti sono state riferite, q.e.d.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Nota 1</B><!-- BBCode End -->: in conseguenza della condizioni stabilita in viii), la conoscenza dell\'espressione generale di ogni arbitraria soluzione f(-) alla funzionale qui presa in esame può essere dedotta sulla base della <!-- BBCode Start --><I>sola</I><!-- BBCode End --> conoscenza dell\'espressione che questa stessa assume in ]-1, 0] oppure in [0, +inf[. Posto infatti y = f(x), per x]-1, 0] <!-- BBCode Start --><I>aut</I><!-- BBCode End --> x€[0, +inf[, è sufficiente risolvere in x l\'equazione così determinata e scambiare quindi formalmente \"y\" con \"x\", onde ottenere (come sperato...) l\'espressione della soluzione, rispettivamente, sull\'intervallo <!-- BBCode Start --><I>complementare</I><!-- BBCode End --> (mi si passi la leggera imprecisione...) [0, +inf[ <!-- BBCode Start --><I>aut</I><!-- BBCode End --> ]-1, 0].
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Passo ix): per ogni x,y€S: f(x + y + xy) = f(x) + f(y) + f(x)*f(y).</B><!-- BBCode End -->
<BR>Dim.: siano u,v€S. Assunto x = u ed y = f(v), com\'è lecito, in corrispondenza della (1), si trova evidentemente che:
<BR>
<BR>f(u + f(f(v)) + u*f(f(v))) = f(u + v + u*v) = f(u) + f(v) + f(u)*f(v)
<BR>
<BR>a patto di rilevare che, coerentemente con la v): f(f(v)) = v. Di qui la tesi, pur di considerare che, nelle relazioni precedenti, u e v sono variabili mute, e pertanto possono essere rinominate a piacimento senza tuttavia che ciò ne alteri la generale consistenza, q.e.d.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 14-01-2004 12:54 ]
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<BR><!-- BBCode Start --><I>In primis</I><!-- BBCode End -->, richiamiamo la traccia del problema (traduco letteralmente dal testo originale in inglese):
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<BR>Sia S l\'insieme dei numeri reali (strettamente) maggiori di -1. Determinare tutte le funzioni f: S --> S che soddisfano le due condizioni:
<BR>1) f(x + f(y) + x*f(y)) = y + f(x) + y*f(x), per ogni x,y€S;
<BR>2) f(x)/x è strettamente crescente su ciascuno degli intervalli -1<x<0 ed x>0.
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<BR>Questo il problema! Vediamo di procedere nella sua risoluzione...
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<BR><!-- BBCode Start --><B>Passo i): per ogni x€S: f(f(x)) = x + f(0) + x*f(0).</B><!-- BBCode End -->
<BR>Dim.: è banale. Basta utilizzare la condizione espressa dalla (1), assumendo x = 0 ed y arbitrariamente variabile in S, donde ottenere:
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<BR>f(f(y)) = f(0 + f(y) + 0*f(y)) = y + f(0) + y*f(0)
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<BR>da cui l\'asserto, a patto di considerare che y è una variabile muta in seno alla relazione precedente, e pertanto può essere rinominata <!-- BBCode Start --><I>ad libitum</I><!-- BBCode End -->, senza che ciò alteri tuttavia la <!-- BBCode Start --><I>sostanza</I><!-- BBCode End --> della identità stabilita, q.e.d.
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<BR><!-- BBCode Start --><B>Passo ii): f(-) è iniettiva in S.</B><!-- BBCode End -->
<BR>Dim.: per assurdo, ammettiamo che f(-) <!-- BBCode Start --><I>non sia</I><!-- BBCode End --> iniettiva in S. Allora, secondo definizione, dovranno esistere almeno due punti x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub>€S, con x<sub>1</sub> != x<sub>2</sub>, tali che:
<BR>f(x<sub>1</sub>) = f(x<sub>2</sub>). Onde dedurne, particolarizzando la i) per x = x<sub>1</sub> ed x = x<sub>2</sub>, che:
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<BR>f(f(x<sub>1</sub>)) = x<sub>1</sub> + f(0) + x<sub>1</sub>*f(0)
<BR>f(f(x<sub>2</sub>)) = x<sub>2</sub> + f(0) + x<sub>2</sub>*f(0)
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<BR>E poiché si suppone: f(x<sub>1</sub>) = f(x<sub>2</sub>), tanto è sufficiente per concludere (per transitività) che:
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<BR>x<sub>1</sub> + f(0) + x<sub>1</sub>*f(0) = x<sub>2</sub> + f(0) + x<sub>2</sub>*f(0) ==> (1 + f(0))*x<sub>1</sub> = (1 + f(0))*x<sub>2</sub>
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<BR>D\'altro canto, per la natura di ogni eventuale soluzione alla funzionale di cui qui si discute: f(x) > -1, ovvero: f(x) + 1 > 0, per qualsivoglia x€S. <!-- BBCode Start --><I>Ergo</I><!-- BBCode End -->, in particolare: 1 + f(0) != 0, e pertanto è lecito quozientare per questa medesima quantità i due membri della relazione ultima sopra indicata, quinci ottenere che:
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<BR>(1 + f(0))*x<sub>1</sub> = (1 + f(0))*x<sub>2</sub> ==> x<sub>1</sub> = x<sub>2</sub>
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<BR>e ciò è assurdo, dacché si è assunto conversamente che x<sub>1</sub> ed x<sub>2</sub> fossero punti distinti in S. L\'assurdo, insorto dall\'aver negato la consistenza della tesi qui dibattuta, induce a concluder di converso che f(-) è una funzione iniettiva in S, q.e.d.
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<BR><!-- BBCode Start --><B>Passo iii): per ogni x€S: f(x + f(0) + x*f(0)) = f(x).</B><!-- BBCode End -->
<BR>Dim.: è banale. Basta utilizzare la condizione espressa dalla (1), assumendo y = 0 ed x arbitrariamente variabile in S, donde ottenere:
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<BR>f(x + f(0) + x*f(0)) = 0 + f(x) + 0*f(x) = f(x)
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<BR>da cui (evidentemente) l\'asserto, q.e.d.
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<BR><!-- BBCode Start --><B>Passo iv): f(0) = 0.</B><!-- BBCode End -->
<BR>Dim.: dalle proprietà generali d\'ogni possibile soluzione al problema qui preso allo studio: f(x) > -1, ovvero: f(x) + 1 > 0, per ogni x€S, come già è stato detto. Dunque, in particolare: 1 + f(0) != 0, è quindi <!-- BBCode Start --><I>licet</I><!-- BBCode End --> definire in R il punto x<sub>0</sub> := - f(0)/[1 + f(0)]. Osservando poi che, qualunque sia f(0)€S: x<sub>0</sub> > -1. Cosicché, fissando x = x<sub>0</sub> in corrispondenza della iii) e considerando che: x<sub>0</sub> + f(0) + x<sub>0</sub>*f(0) = 0, si conclude dover essere:
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<BR>f(0) = f(x<sub>0</sub>) := f(- f(0)/[1 + f(0)]) ==> [Per l\'iniettività] ==> 0 = - f(0)/[1 + f(0)]
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<BR>onde ottenerne in definitiva: f(0) = 0, q.e.d.
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<BR><!-- BBCode Start --><B>Passo v): f(-) è idempotente, ovvero: f(f(x)) = x, per ogni x€S.</B><!-- BBCode End -->
<BR>Dim.: è banale, a questo punto... Difatti, sulla base delle condizioni espresse dalle relazioni i) e iv), risulta che:
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<BR>p.o. x€S: f(f(x)) = x + f(0) + x*f(0) = x + 0 + x*0 = x, q.e.d.
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<BR><!-- BBCode Start --><B>Passo vi): f(-) è suriettiva in S.</B><!-- BBCode End -->
<BR>Dim.: in linea di principio, si tratta di provare che, comunque fissato un punto y nel codominio della f(-), esiste un ulteriore punto x nel dominio della medesima funzione tal che: f(x) = y. E poiché dominio e codominio della f(-) coincidono in S, ciò si riduce (nel nostro caso specifico) a dimostrare che, per ogni y€S, esiste un x€S per cui: f(x) = y. E ciò è banale, quantomeno a questo punto... Difatti, dalla v), per ogni y€S: f(f(y)) = y, pur di considerare che la x in corrispondenza della citata relazione è una variabile muta, e come tale può essere rinominata a piacere, senza che ciò alteri tuttavia la <!-- BBCode Start --><I>sostanza</I><!-- BBCode End --> della identità stabilita. Di qui, considerando (del resto) che, per ogni y€S: f(y)€S, se ne trae che, per ogni y€S, esiste un x€S, essendo x := f(y), tale per cui: f(x) = y, perciocché (secondo definizione) f(-) è una funzione suriettiva in S, q.e.d.
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<BR><!-- BBCode Start --><B>Passo vii): f(-) realizza una corrisponde biunivoca da S in S.</B><!-- BBCode End -->
<BR>Dim.: è banale, a questo punto... E\' sufficiente difatti rammentare che una funzione arbitraria g(-): X --> Y è bigettiva da X in Y se e soltanto se essa è iniettiva in X e suriettiva in Y; donde dedurre la consistenza della tesi sulla base delle condizioni espresse in ii) e vi) relativamente alla f(-), q.e.d.
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<BR><!-- BBCode Start --><B>Passo viii): riportato il grafico della f(-) su un sistema di assi cartesiani ortonormali Oxy, f(-) risulta simmetrica rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.</B><!-- BBCode End -->
<BR>Dim.: si tratta di mostrare che, comunque fissato un x€S:
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<BR>(x, f(x))€graf{f(-)} ==> (f(x), x)€graf{f(-)}
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<BR>E ciò è banale, almeno a questo punto... Difatti, se (x, f(x)) è un punto generico sul grafico della f(-), allora - a seguito della v): f(f(x)) = x, e pertanto:
<BR>(f(x), x)€graf{f(-)}. Da cui l\'asserto, pur di generalizzare sull\'arbitrarietà di scelta dell\'x€S cui le argomentazioni precedenti sono state riferite, q.e.d.
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<BR><!-- BBCode Start --><B>Nota 1</B><!-- BBCode End -->: in conseguenza della condizioni stabilita in viii), la conoscenza dell\'espressione generale di ogni arbitraria soluzione f(-) alla funzionale qui presa in esame può essere dedotta sulla base della <!-- BBCode Start --><I>sola</I><!-- BBCode End --> conoscenza dell\'espressione che questa stessa assume in ]-1, 0] oppure in [0, +inf[. Posto infatti y = f(x), per x]-1, 0] <!-- BBCode Start --><I>aut</I><!-- BBCode End --> x€[0, +inf[, è sufficiente risolvere in x l\'equazione così determinata e scambiare quindi formalmente \"y\" con \"x\", onde ottenere (come sperato...) l\'espressione della soluzione, rispettivamente, sull\'intervallo <!-- BBCode Start --><I>complementare</I><!-- BBCode End --> (mi si passi la leggera imprecisione...) [0, +inf[ <!-- BBCode Start --><I>aut</I><!-- BBCode End --> ]-1, 0].
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<BR><!-- BBCode Start --><B>Passo ix): per ogni x,y€S: f(x + y + xy) = f(x) + f(y) + f(x)*f(y).</B><!-- BBCode End -->
<BR>Dim.: siano u,v€S. Assunto x = u ed y = f(v), com\'è lecito, in corrispondenza della (1), si trova evidentemente che:
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<BR>f(u + f(f(v)) + u*f(f(v))) = f(u + v + u*v) = f(u) + f(v) + f(u)*f(v)
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<BR>a patto di rilevare che, coerentemente con la v): f(f(v)) = v. Di qui la tesi, pur di considerare che, nelle relazioni precedenti, u e v sono variabili mute, e pertanto possono essere rinominate a piacimento senza tuttavia che ciò ne alteri la generale consistenza, q.e.d.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 14-01-2004 12:54 ]